การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

โพรเจกไทล์ (projectile) ในภาษาอังกฤษหมายถึงวัตถุที่ขว้างหรือยิงออกไป เช่น ก้อนหินที่ถูกขว้างออกไปหรือลูกกระสุนที่ถูกยิงออกไป ทั้งนี้ในบริเวณใกล้ผิวโลกตามปกติการเคลื่อนที่ของวัตถุดังกล่าวจะสังเกตได้ว่ามีวิถีโค้ง แต่จะโค้งอย่างใดโดยละเอียดและทำไมจึงโค้งเช่นนั้นจะได้ศึกษากันต่อไป การเคลื่อนที่ตามรูปแบบที่วัตถุดังกล่าวเคลื่อนที่ไป โดยเฉพาะเมื่อไม่มีแรงต้านทานของอากาศหรือแรงต้านทานมีผลน้อยจนไม่ต้องนำมาคิด จะเรียกว่า การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (projectile motion) ในกรณีที่แรงต้านทานของอากาศมีผลต่อการเคลื่อนที่เนื่องจากวัตถุเบา หรือเนื่องจากเคลื่อนที่เร็วและมีการหมุน วิถีการเคลื่อนที่จะแตกต่างออกไปจากการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์และไม่นับเป็นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ เช่น การเคลื่อนที่ของลูกแบดมินตัน ลูกกอล์ฟ ลูกฟุตบอลที่หมุน ฯลฯ

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็นการเคลื่อนที่ใน 2 มิติ คือเคลื่อนที่ในแนวระดับและแนวดิ่งพร้อมกัน ในแนวดิ่งเป็นการเคลื่อนที่ที่มีความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก (ซึ่งสม่ำเสมอในบริเวณใกล้ผิวโลก) ในขณะที่การเคลื่อนที่ในแนวราบไม่มีความเร่งเพราะไม่มีแรงกระทำในแนวระดับ ทำให้เส้นทางการเคลื่อนที่เป็นแนวโค้ง เส้นทางการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์จะมีลักษณะเป็นเส้นโค้งแบบพาราโบลา เราสามารถศึกษาแนวการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ได้ดังการทดลอง 4.1 ท้ายบทนี้

รูป 4.1 เส้นทางการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

จากการทดลองให้ลูกกลมโลหะกลิ้งลงมาตามรางเข้าชนเป้า และทำเครื่องหมายบนกระดาษกราฟให้ตรงกับจุดที่ลูกกลมกระทบเป้า ถ้าเลื่อนเป้าไปหลายตำแหน่ง แล้วลากเส้นผ่านจุดบนกระดาษกราฟ จะได้เส้นทางการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ของลูกกลมโลหะ อุปกรณ์ดังแสดงในรูป 4.2

รูป 4.2 เครื่องมือสำหรับหาแนวการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

ถ้ากำหนดให้จุดแรกของการชนบนกรดาษกราฟเป็นจุดกำเนิดของแกน x และ แกน y ดังรูป 4.2 วัดการกระจัด x ในแนวระดับ และการกระจัด y ในแนวดิ่งของจุดต่างๆ แล้วเขียนกราฟระหว่าง y กับ x_2 ซึ่งจะได้กราฟเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด

ดังนั้น $y\alpha x^2$ หรือ y = kx^2 เมื่อ k เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

เนื่องจาก รูปสมการ y=kx_2 เป็นสมการพาราโบลา แสดงว่าแนวการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีแนวการเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งพาราโบลา โดยมีการกระจัดทั้งแนวดิ่งและแนวระดับพร้อมกัน

จะเห็นว่าการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีทั้งการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งและแนวระดับพร้อมกัน การเคลื่อนที่ทั้งสองแนวมีความสัมพันธ์กันอย่างไร และโพรเจกไทล์เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over g}$ เช่นเดียวกับวัตถุแบบเสรีหรือไม่ ให้ศึกษาจากกิจกรรมต่อไปนี้

รูป 4.3 การวางเหรียญที่ขอบโต๊ะและบนไม้บรรทัด

นำเหรียญขนาดเท่ากันมา 2 เหรียญโดยวางเหรียญแรกไว้ที่ขอบโต๊ะ อีกเหรียณหนึ่งวางบนไม้บรรทัดที่วางราบและยื่นออกนอกขอบโต๊ะดังรูป 4.3 ใช้มือหนึ่งกดไม้บรรทัดที่อยู่บนโต๊ะ อีกมือหนึ่งจับไม้บรรทัดอีกอันหนึ่งให้อยู่ในแนวดิ่ง ใช้สันไม้บรรทัดในแนวดิ่งเคาะที่สันไม้บรรทัดที่วางอยู่บนโต๊ะ ให้เคลื่อนที่ไปในแนวระดับอย่างรวดเร็ว ทำให้เหรียญบนไม้บรรทัดตกแบบเสรี และเหรียญที่วางบนโต๊ะเคลื่อนที่ออกไปในแนวระดับจากขอบโต๊ะ ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ดังรูป 4.4 ฟังเสียงที่เหรียญทั้งสองตกกระทบพื้นว่าพร้อมกันหรือไม่ อาจทำซ้ำโดยใช้ความเร็วในการปัดไม้บรรทัดขนาดต่างๆ กัน จะพบว่าเหรียญทั้งสองตกถึงพื้นพร้อมกันจนได้ยินเป็นเสียงเดียวหรือเกือบเป็นเสียงเดียวซึ่งเวลาที่แตกต่างกันน้อยมาก

รูป 4.4 เหรียญตกแบบเสรีและเหรียญเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

เหรียญบนโต๊ะที่ถูกปัดด้วยขนาดของแรงไม่เท่ากัน เหรียญหนึ่งจะมีความเร็วเริ่มต้นในแนวระดับต่างกันเหรียญที่มีความเร็วในแนวระดับมาก จะตกถึงพื้นในระยะทางไกลกว่าเหรียญที่มีความเร็วในเร็วระดับน้อยกว่า สำหรับเวลาในการเคลื่อนที่ พบว่าเหรียญที่ตกในแนวดิ่งแบบเสรี และเหรียญที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ตกถึงพื้นพร้อมกันทุกกรณี แสดงว่าช่วงเวลาที่ใช้ในการตกถึงพื้นของเหรียญที่ตกในแนวดิ่งแบบเสรีกับเหรียญที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีค่าเท่ากัน ทำให้สรุปได้ว่า การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ เป็นเช่นเดียวกับการตกในแนวดิ่งและไม่ขึ้นกับความเร็วในแนวระดับของโปรเจกไทล์

ต่อไปทดลองเช่นเดิมแต่โดยเปลี่ยนความสูงของโต๊ะ เวลาที่เหรียญตกถึงพื้นจะเปลี่ยนไป แต่เหรียญทั้งสองก็ยังคงตกถึงพื้นพร้อมกันเช่นเดิม สรุปได้ว่าเหรียญที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จะเคลื่อนที่ตัวด้วยความเร่ง $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over g}$ เช่นเดียวกับเหรียญที่ตกแบบเสรี และแสดงว่าการเคลื่อนที่ในแนวระดับไม่มีผลต่อการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง หรือกล่าวว่าการเคลื่อนที่ทั้งสองแนวเป็นอิสระต่อกัน
สรุปได้ว่า วัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ มีการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งและแนวระดับพร้อมๆ กัน การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเป็นการเคลื่อนที่เป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงตัว $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over g}$ ส่วนการเคลื่อนที่ในแนวระดับเป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวเพราะไม่มีแรงลัพธ์ในแนวระดับกระทำ ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ เราสามารถพิจารณาการเคลื่อนที่ทั้งสองแนวแยกจากกันได้

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวระดับ
การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ของวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้นในแนวระดับ จะมีเส้นทางเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งพาราโบลา ดังรูป 4.5 และเคลื่อนที่ด้วยความเร็วในแนวระดับคงตัวตลอดเวลาเพราะไม่มีความเร่งในแนวนี้

รูป 4.5 การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ด้วยความเร็วต้นในแนวระดับ

จากรูป 4.5 ให้แกน x เป็นแนวการเคลื่อนที่วัตถุตามแนวระดับ แกน y เป็นแนวการเคลื่อนที่ของวัตถุตามแนวดิ่ง v_x เป็นความเร็วชองวัตถุในแนวระดับซึ่งมีค่าคงตัวถ้าให้วัตถุอยู่ที่ตำแหน่ง B เมื่อเวลาผ่านไป t จะได้การกระจัดในแนวระดับเป็น
s_x = v_x t (4.1)

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวดิ่ง
จากรูป 4.5 เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง ซึ่งเป็นการตกแบบเสรี วัตถุ จะเคลื่อนที่ลงด้วยความเร่ง g ความเร็วของวัตถุในแนวดิ่งที่ตำแหน่ง A,B,C จึงไม่เท่ากัน เราสามารถหาความเร็วในแนวดิ่ง ที่ตำแหน่ง B คือ   v_y ได้จากสมการ v = u + at และเนื่องจากความเร็วในตอนเริ่มต้นการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเป็นศูนย์ จึงได้
. v_y=gt
ส่วนการกระจัดในแนวดิ่งที่ตำแหน่ง B คือ   S_y หาได้จากสมการ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ เป็น
$S_y = \frac{1}{2}gt^2$                                      (4.2)

ตัวอย่าง 4.1 ถ้าถือปืนที่ยิงด้วยแรงอัดของสปริงเล็งไปยังเป้า โดยให้ลำกล้องปืนขนานกับพื้นและสูงจากพื้น 6.0 เมตร ส่วนปากลำกล้องปืนห่างจากเป้า 4.0 เมตร เมื่อทำการยิงลูกปืนที่ออกจากปากลำกล้องปืนด้วยความเร็ว 5.0 เมตรต่อวินาที ในขณะเดียวกันเป้าตกแบบเสรีสู่พื้น ขณะลูกกลมเหล็กกระทบเป้า เป้าอยู่สูงจากพื้นเท่าใด

รูป 4.6 ยิงเป้าขณะตกแบบเสรี

วิธีทำ
สมมติลูกเหล็กกระทบเป้าเมื่อเป้าตกลงมาถึงระดับที่สูงจากพื้น h เมตร   เวลาที่ลูกเหล็กเคลื่อนที่ในแนวระดับในตระยะทาง 4.0 เมตร ด้วยความเร็วคงตัวที่ได้ระยะทางนั้น
ระยะ              =           อัตราเร็ว x เวลาที่เคลื่อนที่ได้ระยะทางนั้น
แทนค่าจะได้          4.0    m               =            (5.0   m/s)     t
T                =            0.8    s
เนื่องจากลูกเหล็กและเป้าต่างใช้เวลาเท่ากันในการเคลื่อนที่จากระดับความสูงเดียวกันลงสู่ตำแหน่งที่ระดับความสูงเดียวกัน ซึ่งในที่นี้คือ 0.8 วินาที ดังนั้นในขณะที่ทั้งสองเคลื่อนที่มากระทบกันจะหาระยะที่ลูกเหล็กตกลงมาในเวลา   0.8 วินาทีได้จาก    $s = ut + \frac{1}{2}at^2$
(6.0 – h ) m            =     $0+\frac{1}{2} \times(9.8m/s^2 ) \times (0.8s)^2$
=   3.1    m
ขณะลูกเหล็กกระทบเป้า   ความสูงของเป้าจากพื้นคือ h     =    6.0   m – 3.1 m    =   2.9   m
คำตอบ   เป้าอยู่สูงจากพื้น   2.9 เมตรขณะลูกเหล็กกระทบเป้า

ระยะทางแนวระดับของโพรเจกไทล์

การวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ที่ผ่านมานั้น วัตถุเริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้นในแนวระดับ ต่อไปจะศึกษาการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ที่มีความเร็วต้นของวัตถุอยู่ในทิศทำมุมกับแนวระดับดังที่เห็นในการพุ่งแหลน การทุ่มน้ำหนัก เป็นต้น

รูป 4.7 เคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้นในทิศทำมุม $\theta$ กับแนวระดับ

ในวัตถุเคลื่อนที่ออกจากจุดกำเนิดของระบบแกนมุมฉาก x , y ด้วยความเร็วต้น $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over u}$ ในทิศทำมุม $\theta$ กับแกน x หรือพื้นระดับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นี้เป็นแนวการเคลื่อนที่แบบโค้งพาราโบลาคว่ำ ดังรูป 4.7 การวิเคราะห์การเคลื่อนที่ในลักษณะนี้จะแยกแกเป็นการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งด้วยความเร่งคงตัว $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over g}$ และการเคลื่อนที่ในแนวระดับด้วยความเร็วคงตัว

การเคลื่อนที่ในแนวระดับ วัตถุจะเคลื่อนที่ในแนวระดับด้วยความเร็วคงตัว $u\cos \theta$ ซึ่งเป็นความเร็วองค์ประกอบของ $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over u}$ ในแนวระดับ ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ได้การกระจัดในแนวระดับ S_x ในแนว t จะได้

$S_x = (u\cos \theta )t$
การเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง ในการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งจะมีปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ทั้งทิศขึ้นและลงในแนวดิ่ง ดังนั้น จึงกำหนดให้ปริมาณที่มีทิศขึ้นในแนวดิ่งมีเครื่องหมาย + และปริมาณที่มีทิศลงในแนวดิ่งมีเครื่องหมาย –
พิจารณาช่วงเวลา t ที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นจนกระทั่งตกถึงพื้นระดับโดยการเคลื่อนที่มีความเร็วต้นเป็น $+ u\sin \theta$ และความเร่ง – g และเนื่องจากจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของการเคลื่อนที่อยู่ในระดับเดียวกันจึงได้การกระจัดเป็นศูนย์ ดังนั้นจาก $s = ut + \frac{1}{2}at^2$
จะได้ $S_y = \left( {u\sin \theta } \right)t - \frac{1}{2}gt^2$
แทนค่า S_y เป็นศูนย์ได้ t $\frac{{2u\sin \theta }}{g}$
ช่วงเวลา $t = \frac{{2u\sin \theta }}{g}$ นี้เป็นช่วงเวลาเดียวกันกับช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ในแนวระดับจากจุดเริ่มต้นถึงจุดสุดท้าย ดังนั้นระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในแนวระดับจากเริ่มต้นจนตกถึงพื้นระดับเดิม หรือ ระยะตก (range) ของวัตถุจะเป็น
$S_x = \left( {u\cos \theta } \right)t$
$S_x = \left( {u\cos \theta } \right)\left( {\frac{{2u\sin \theta }}{g}} \right)$
$S_x = \left( {\frac{{u^2 }}{g}\sin 2\theta } \right)$ (4.3)
นั่นคือ ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ในแนวระดับหรือขนาดการกระจัดของวัตถุในแนวระดับ S_x สำหรับขนาดความเร็วต้นค่าหนึ่งๆ จะขึ้นอยู่กับมุม $\theta$ ซึ่งเป็นมุมที่ความเร็วต้นทำกับแนวระดับ มุมที่ทำให้ S_x มีค่าได้สูงสุดคือเมื่อ $\sin 2\theta$ มีค่าสูงสุดคือ 1 และได้ $\theta = 45^\circ$ 
ตัวอย่าง 4.2 การแข่งขันทุ่มน้ำหนัก นักกีฬาคนหนึ่งทุ่มลูกน้ำหนักด้วยความเร็วต้น 10 เมตรต่อวินาที ในทิศทำมุม 42 องศากับพื้น ลูกน้ำหนักจะขึ้นไปสูงสุดจากพื้นเท่าใด และตกห่างจากจุดเริ่มต้นกี่เมตรในแนวระดับ ถ้าลูกน้ำหนักเคลื่อนที่ออกจากมือนักกีฬาในขณะอยู่สูงจากพื้น 1.80 เมตร กำหนด $\sin 42^\circ = 0.669$ และ $\cos 42^\circ = 0.743$

วิธีทำ แยกแนวการเคลื่อนที่ของลูกน้ำหนักเป็นแนวระดับและแนวดิ่ง โดยความเร็วในแนวระดับมีค่าคงตัวเท่ากับความเร็วองค์ประกอบในแนวระดับของความเร็วต้นและความเร็วเริ่มต้นในแนวดิ่งเท่ากับความเร็วองค์ประกอบในแนวดิ่งของความเร็วต้นที่มีค่า 10 m/s

รูป 4.8 แสดงแนวทางการเคลื่อนที่ของลูกน้ำหนัก

การเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
กำหนดปริมาณที่มีทิศในแนวดิ่งขึ้นเป็น + และแนวดิ่งลงเป็น – และให้ระยะสูงสุดของลูกน้ำหนักเมื่อเทียบกับระดับเริ่มต้นเคลื่อนที่ เป็น h ในที่นี้ลูกน้ำหนักมีความเร็วต้น u ในแนวดิ่งซึ่งเท่ากับ   $+10\sin 42^\circ$ และความเร่งเป็น -9.8 m/s^2 โดยมีความเร็วสุดท้ายที่ตำแหน่งสูงสุดเป็นศูนย์
จาก             v^2 = u^2 + 2as
แทนค่า         $o = (10\sin 42^\circ m/s)^2 + 2( - 9.8m/s^2 )$ (h m)
h = 2.28 m
เนื่องจากขณะที่เริ่มเคลื่อนที่ ลูกน้ำหนักอยู่สูงจากพื้น 1.80 m ดังนั้นลูกน้ำหนักจะขึ้นไปสูงสุด
จากพื้น     =    1.80   m    +   2.28 m    = 4.08    m

คำตอบ ลูกน้ำหนักขึ้นไปสูงสุดจากพื้น เท่ากับ 4.08 เมตร

การเคลื่อนที่ในแนวระดับ
          เนื่องจากช่วงเวลาของการเคลื่อนที่ในแนวระดับ จะเท่ากับเวลาที่ลูกน้ำหนักเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง นับตั้งแต่ลูกเหล็กออกจากมือถึงจุดสุดท้าย จะได้ การกระจัด = -1.80 m โดยลูกน้ำหนักมีความเร็วต้น $u_y = + 10\sin 42^\circ m/s$ และความเร่ง   = - 9.8m/s^2 เราสามารถหาช่วงเวลา t 0นับตั้งแต่ลูกน้ำหนักออกจากมือจนตกถึงพื้นได้จาก $s = u_y t + \frac{1}{2}at^2$
แทนค่า        -1.80 = $(10\sin 42^\circ m/s)t + \frac{1}{2}( - 9.8m/s)t^2$
t    =     1.59       s
สำหรับการกระจัดในแนวระดับ    S_x หาได้จาก    s = u_x t
แทนค่า                                                      $s_x = (10\cos 42^\circ m/s)(1.59s)$
ได้                                                                           =       11.82      m
คำตอบ   ลูกน้ำหนักตกห่างจากจุดเริ่มต้นในแนวระดับ   11.82 เมตร

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ที่กล่าวมานี้ไม่ได้คิดถึงแรงต้านจากอากาศและแรงอื่นๆ เช่น แรงลม แรงหนึด ความแตกต่างของสนามโน้มถ่วง ฯลฯ ซึ่งต่างก็มีผลต่อการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์ทั้งสิ้น แนวการเคลื่อนที่ของวัตถุที่คิดถึงแรงต่างๆ เหล่านี้จึงมักไม่เป็นพาราโบลาที่สมบูรณ์ เช่น ลำน้ำที่ถูกฉีดออกจากท่อน้ำดับเพลิงหรือสายยางรดน้ำต้นไม้ ถ้าไม่คิดแรงต้านอากาศแนวการเคลื่อนที่ของลำน้ำจะเป็นเส้นโค้งพาราโบลา แต่ความเป็นจริงอากาศมีแรงต้านทานต่อการเคลื่อนที่ของลำน้ำ ดังนั้นแนวการเคลื่อนที่ของลำน้ำอาจจะไม่เป็นเส้นโค้งพาราโบลา ดังรูป 4.9 โดยเฉพาะเมื่อปลายลำน้ำแตกเป็นฝอย อย่างไรก็ตามความรู้เกี่ยวกับโพรเจกไทล์ สามารถใช้ทำนายการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์ได้โดยประมาณอาจได้ผลถูกต้องพอควรสำหรับโพรเจกไทล์ที่แรงต้านอากกาศมีผลต่อการเคลื่อนที่น้อย

การเคลื่อนที่แบบวงกลม

รูป 4.10 การเคลื่อนที่แบบวงกลมหรือส่วนของวงกลม

การเคลื่อนที่แบบวงกลมเป็นการเคลื่อนที่อีกแบบหนึ่งที่น่าสนใจ เพราะการเคลื่อนที่หลายอย่างรอบตัวเรา มีส่วนที่จะเป็นการเคลื่อนที่เป็นวงกลม ตัวอย่างเช่น การเคลื่อนที่ดังรูป 4.10 รถยนต์หรือรถจักรยานยนต์กำลังเลี้ยวโค้ง รถไฟตีลังกา หรือดาวเทียมโคจรรอบโลก นับเป็นการเคลื่อนที่แบบวงกลมหรือส่วนของวงกลม รถยนต์ รถจักรยานยนต์ และ ดาวเทียม เคลื่อนที่ในแนววงกลมหรือส่วนของวงกลม ได้อย่างไร หรือทำไมการเคลื่อนที่เป็นแบบนั้นๆ ได้ จะศึกษาต่อไป
เพื่อความเข้าใจการเคลื่อนที่เป็นวงกลม เราควรเริ่มศึกษาจากการเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีอัตราเร็วคงตัวก่อน นั่นคือการเคลื่อนที่ที่มีขนาดของความเร็วเท่าเดิม สม่ำเสมอแต่มีทิศเปลี่ยนไปทีละน้อย

รูป 4.11 การแกว่งวัตถุให้เคลื่อนที่เป็นวงกลมในระนาบระดับ

เราอาจหาประสบการณ์จากการแกว่งวัตถุที่ปลายเชือกให้เป็นวงกลมในระนาบระดับดังรูป 4.11 ในการแกว่งที่รัศมีค่าหนึ่ง เราจะรู้สึกว่า มือจะต้องใช้แรงดึงมากขึ้นเมื่อแกว่งให้เร็วขึ้น (เวลาครบรอบสั้นลง) แสดงว่าการทำให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมจะต้องใช้แรงดึง การแสดงว่า การเคลื่อนที่เป็นวงกลมหรือการเคลื่อนที่เป็นแนวโค้งของวัตถุต้องใช้แรงก็คือ การใช้อุปกรณ์สาธิตที่ดีดลูกกลมโลหะให้เคลื่อนที่ไปตามรางโค้งวงกลม ดังรูป 4.12 จะสังเกตได้ว่าเมื่อสุดรางโค้ง ลูกโลหะจะวิ่งตรงต่อไป แสดงว่าวัตถุวิ่งโค้งได้เนื่องจากมีรางบังคับ และจะต้องมีแรงจากรางกระทำอยู่ตลอดเวลา แรงดังกล่าวเป็นแรงกระทำจากขอบรางซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากลูกกลมโลหะเคลื่อนที่สัมผัสกับราง ณ ตำแหน่งต่างๆ ในทิศตั้งฉากกับราง จึงมีทิศเข้าหาศูนย์กลางของการเคลื่อนที่ดังรูป 4.13

รูป 4.12 ลูกกลมโลหะเคลื่อนที่ไปตามรางโลหะที่เป็นส่วนโค้งวงกลม

รูป 4.13 แรงกระทำกับลูกกลมโลหะขณะเคลื่อนที่ไปตารางโค้ง

การเคลื่อนที่แบบวงกลมมีความเร่งสู่ศูนย์กลาง
เราอาจพิสูจน์ได้ว่าวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมมีความเร่ง จากความหมายของความเร่ง คือ อัตราการเปลี่ยนความเร็ว การเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีขนาดของความเร็วคงตัว แต่มีการเปลี่ยนทิศของความเร็วตลอดเวลา ซึ่งจะถือว่ามีการเปลี่ยนความเร็ว และมีความเร่งดังต่อไปนี้
พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนววงกลมรัศมี r ด้วยขนาดความเร็วคงตัว v จากตำแหน่ง A ไปยังตำแหน่ง B โดยผ่านตำแหน่ง C ที่อยู่บนแกน y ดังรูป 4.14 ถ้าให้ A และ B อยู่ห่างจากแกน y เท่ากัน และที่ตำแหน่ง A กับ B วัตถุมีความเร็ว $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _A$ และ $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _B$ ตามลำดับ

รูป 4.14 การเปลี่ยนแปลงความเร็วของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่ในแบบวงกลม

                    เมื่อพิจารณาแต่ขนาดของ   $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _A$ และ $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _B$ จะได้ v_A = v_B = v และจะได้ว่า
ความเร็วองค์ประกอบของ $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _A$ ในแนวแกน   x    =    $+ v_A \cos \theta$
ความเร็วองค์ประกอบของ $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _A$ ในแนวแกน   y    =    $+ v_A \sin \theta$
ความเร็วองค์ประกอบของ $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _B$ ในแนวแกน   x    =    $+ v_B \cos \theta$
ความเร็วองค์ประกอบของ $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _B$ ในแนวแกน   y    =    $- v_B \sin \theta$
เมื่อ   $\theta$ เป็นมุมระหว่างเส้นรัศมีมีที่ตำแหน่ง A กับ C หรือมุมระหว่างเส้นรัศมีที่ตำแหน่ง B กับ C พิจารณาช่วงเวลาที่วัตถุใช้ในการเคลื่อนที่จาก A ไป B ด้วยอัตราความเร็วคงตัว v จะได้
$t = \frac{{ÊèÇ¹â¤é§ AB}}{v}$
จากรูปเราสามารถหา ความยาวของส่วนโค้ง AB ได้เป็น $(2\theta )r$ ดังนั้น
$t = \frac{{2\theta r}}{v}$

สำหรับการเคลื่อนที่ของวัตถุบนส่วนโค้ง AB ความเร็วในแกน X ที่ A และที่ B จะมีค่าเท่ากันคือ
$v_A \cos \theta = v_B \cos \theta = v\cos \theta$ ดังนั้นความเร่งในแนวแกน X จึงเท่ากับศูนย์ และ
เราสามารถหาความเร่งเฉลี่ยตามแนวแกน y คือ   a_y ได้จาก   $a = \frac{{v - u}}{t}$
แทนค่า                      $a_y = ( - v_B \sin \theta - v_A \sin \theta )\frac{v}{{2\theta r}}$
$a_y = - \frac{{v^2 }}{r}\left( {\frac{{\sin \theta }}{\theta }} \right)$
เครื่องหมาย – แสดงว่า ความเร่ง   a_y มีทิศทางไป – y คือตำแหน่ง C เข้าหาจุด ศูนย์กลาง O
เมื่อให้มุม $\theta$ มีค่าน้อยจนเกือบเป็นศูนย์ เพื่อให้ A และ B เข้าใกล้ตำแหน่ง C ซึ่งอยู่ตรงส่วนบนสุดของวงกลม ดังนั้นความเร่ง a_y ก็จะเป็นความเร่งขณะหนึ่งคือความเร่งที่ตำแหน่ง C มีทิศเข้าหาจุดศูนย์กลาง O ของวงกลม การหาขนาดของความเร่งขณะหนึ่งจะพิจารณาว่า   $\sin \theta = \theta$ เพราะ $\theta$ มีค่าน้อยเข้าใกล้ศูนย์ และจะได้
$a_y = \frac{{v^2 }}{r}$ ซึ่งมีทิศเข้าสู่จุดศูนย์กลางของวงกลม
ในทำนองเดียวกัน ถ้าย้ายตำแหน่ง C มาอยู่บนแนวแกน X แทน โดยให้ A และ B อยู่ห่างจาก C เท่ากันเช่นเดิม ก็จะได้ว่าความเร่งขณะหนึ่งที่ตำแหน่ง C จะมีทิศในแนวแกน X และเข้าหาจุดศูนย์กลางเช่นเดิม และไม่ว่าจะย้าย C ไปอยู่ที่ตำแหน่งใดบนเส้นรอบวงกลม ก็จะได้ว่าความเร่งขณะหนึ่งที่ตำแหน่ง C มีทิศเข้าหาจุดศูนย์กลางเสมอ
ดังนั้นถ้าให้   a_c เป็นความเร่งขณะหนึ่งที่มีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางวงกลม
จะได้               $a_c = \frac{{v^2 }}{r}$                                    (4.4)
เมื่อวัตถุมีความเร่งทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง ดังนั้นวัตถุเคลื่อนที่ในแนววงกลมด้วยอัตราเร็วคงตัว ต้องมีแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อวัตถุตามกฎของนิวตัน แรงสู่ศูนย์กลาง F_c จะเป็น
$F_c = ma_2 \frac{{mv^2 }}{r}$                                    (4.5)
เราสามารถทำการทดลองเพื่อสำรวจว่า การเคลื่อนที่แบบวงกลมมีแรงสู่ศูนย์กลางหรือไม่ หรือเพื่อพิสูจน์ว่าแรงสู่ศูนย์กลางเป็นไปตามสมการ (4.5) หรือไม่ ดังรายละเอียดท้ายบท

การเคลื่อนที่บนโค้ง
ในกรณีของรถยนต์ที่กำลังเลี้ยวโค้ง แรงเสียดทานที่พื้นถนนกระทำกับด้านข้างของยางรถจะเป็นแรงสู่ศูนย์กลางที่ทำให้รถยนต์เลี้ยวโค้งได้ และเนื่องจากแรงเสียดทานมีค่าจำกัดขึ้นกับสภาพถนนและยางรถ ดังนั้นแรงสู่ศูนย์กลางที่เป็นไปได้จึงมีค่าจำกัดด้วย ถ้าถนนมีรัศมีความโค้งขนาดหนึ่ง อัตราเร็วที่รถวิ่งขณะเลี้ยวโค้งจะต้องไม่มากเกินกว่าที่ถนนจะสามารถให้แรงเสียดทานทิศสู่ศูนย์กลางที่เป็นไปตามสมการ (4.4) ได้ หากอัตราเร็วเกินรถจะไถลออกนอกโค้ง ดังที่เกิดขึ้นเป็นอุบัติเหตุที่เป็นข่าวบ่อยครั้ง โดยเฉพาะเมื่อฝนตก ถนนลื่นแรงเสียดทานที่เป็นไปได้จะลดลง

ตัวอย่าง 4.3    รถยนต์มวล 1,000 กิโลกรัม แล่นด้วยความเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมงเลี้ยวโค้งบนถนน ที่มีผิวอยู่ในแนวระดับและมีทางโค้ง 2 โค้ง ซึ่งมีรัศมีความโค้ง 100 เมตร และ 500 เมตร ตามลำดับ
1.    แรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำต่อรถยนต์ในแต่ละกรณีมีค่าเท่าใด
2.    ถ้าแรงเสียดทานที่พื้นถนนกระทำกับยางรถในทิศเข้าสู่ศูนย์กลางมีค่าสูงสุดเท่ากับ 1,000 นิวตัน จะมีผลอย่างไรต่อการเลี้ยวโค้งของรถยนต์ทั้งสองกรณี
วิธีทำ
1. กรณีที่ถนนระดับมีรัศมีความโค้ง 100 เมตร
จาก            $F_c = \frac{{mv^2 }}{r}$
ในที่นี้ m   =   1000 kg,    $v = \frac{{60 \times 10^3 }}{{3600}}m/s$ และ r = 100 m
แทนค่า                      $F_c = \frac{{1000kg}}{{100m}} \times \left( {\frac{{60 \times 10^3 }}{{3600}}m/s} \right)^2$
F_c = 2,778 N
คำตอบ     แรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อรถยนต์ขณะเลี้ยวโค้งบนถนนระดับรัศมีความโค้ง 100 เมตร เท่ากับ 2,778 นิวตัน

กรณีที่ถนนระดับมีรัศมีความโค้ง   500 เมตร
จาก   $F_c = \frac{{mv^2 }}{r}$
ในที่นี้ m     =     1000 kg   $v = \frac{{60 \times 10^3 }}{{3600}}m/s$ และ r = 500 m
แทนค่า                    $F_c = \frac{{1000kg}}{{500m}} \times \left( {\frac{{60 \times 10^3 }}{{3600}}m/s} \right)^2$
F_c = 555.6 N

คำตอบ แรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อรถยนต์ขณะเลี้ยวโค้งบนถนนระดับรัศมีความโค้ง 500 เมตร เท่ากับ 555.6 นิวตัน

2. เนื่องจากแรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำต่อรถยนต์มีค่าสูงสุด 1,000 นิวตัน รถยนต์จะต้องเลี้ยวโค้งด้วยแรงสู่ศูนย์กลางที่น้อยกว่าหรือเท่ากับแรงสู่ศูนย์กลางสูงสุดจึงจะเลี้ยวโค้งได้อย่างปลอดภัย

คำตอบ กรณีที่รัศมีของทางโค้ง 100 เมตร ต้องใช้แรงสู่ศูนย์กลางถึง 2,778 นิวตัน ดังนั้นรถยนต์จึงไม่สามารถเลี้ยวโค้งได้ เป็นเหตุให้รถไถลออกนอกถนน แต่กรณีที่รัศมีของทางโค้ง 500 เมตรจะใช้แรงสู่ศูนย์กลางเพียง 555.6 นิวตัน ดังนั้นรถยนต์จึงสามารถเลี้ยวโค้งได้อย่างปลอดภัย
จากตัวอย่าง 4.3 ทำให้วิเคราะห์ได้ว่ารถยนต์แล่นเลี้ยวโค้งบนถนนระดับที่มีรัศมีความโค้งไม่เท่ากันแต่ด้วยอัตราเร็วเท่ากัน จะมีแรงสู่ศูนย์กลางไม่เท่ากัน ทางโค้งที่มีรัศมีความโค้งสั้น รถยนต์จะใช้แรงสู่ศูนย์กลางมากกว่าทางโค้งที่มีรัศมีความโค้งยาว ดังนั้นรถยนต์ที่เลี้ยวโค้งที่มีรัศมีความโค้งน้อย ไม่ควรเลี้ยวด้วยอัตราเร็วเท่ากับการเลี้ยวโค้งบนทางที่มีรัศมีความโค้งมากกว่า เนื่องจากแรงเสียดทานที่ถนนกระทำกับรถซึ่งเป็นแรงสู่ศูนย์กลางมีค่าจำกัด อาจมีค่าไม่พอที่จะทำให้รถเลี้ยวโค้งได้อย่างปลอดภัย ผู้ขับขี่ยวดยานจึงต้องใช้ความเร็วตามที่กำหนดอย่างเคร่งครัด อย่างไรก็ตาม ถ้าต้องการให้รถเลี้ยวโค้งได้อย่างปลอดภัยด้วยอัตราเร็วที่มากขึ้น จำเป็นต้องหาแรงอื่นมาเสริมแรงเสียดทานเพื่อเพิ่มแรงสู่ศูนย์กลางขึ้นให้เหมาะสม

การเลี้ยวโค้งบนถนนระดับของรถจักรยานยนต์หรือรถจักรยาน ขณะรถจักรยานยนต์หรือรถจักรยานแล่นในแนวตรงบนถนนระดับ ถ้าพิจารณาแรงทั้งหมดที่กระทำกับรถและคนนอกจากแรงเสียดทานที่กระทำที่ล้อรถทำให้รถเคลื่อนที่ไปข้างหน้าได้ ยังมีน้ำหนักของรถและคน และแรงที่พื้นดันรถและคนในทิศตั้งฉาก รถและคนจะต้องตั้งตรง แนวของ และ จึงจะผ่านศูนย์กลางมวลรวมของรถและคนและอยู่ในแนวดิ่ง ทำให้ไม่มีโมเมนต์ของแรงที่จะทำให้รถล้ม รถจึงไม่ล้ม ดังรูป 4.15 ก.

รูป 4.15 แสดงแรงกระทำต่อรถจักรยานยนต์

เมื่อรถจักรยานยนต์หรือรถจักรยานเลี้ยวโค้ง จะต้องมีแรงกระทำต่อรถเพิ่มอีก 1 แรง คือแรงเสียดทาน $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f}$ ที่พื้นถนนกระทำกับด้านข้างของล้อรถในทิศเข้าหาจุดศูนย์กลางของความโค้งรถจำเป็นต้องเอียงตัว เพื่อให้ไม่มีโมเมนต์ของแรงที่จุดศูนย์กลางมวล ดังรูป 4.15 ข.ถ้าคนและรถไม่เอียงตัว แรงลัพธ์ $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R}$ ของแรง $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f}$ และ $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N}$ จะไม่ผ่านศูนย์กลางมวล ดังรูป 4.15 คำให้มีโมเมนต์ของแรง $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R}$ (คิดรอบจุดศูนย์กลางมวล) เป็นเหตุให้มีการหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล และรถล้ม

การยกขอบของถนนโค้ง

รูป 4.16 แรงที่กระทำต่อรถขณะที่กำลังแล่นเลี้ยวโค้งบนถนเอียงทำมุมกับพื้นระดับ

เพื่อให้การเลี้ยวโค้งด้วยความเร็วเป็นไปได้ง่ายขึ้นและปลอดภัยขึ้น พื้นถนนโค้งจะถูกยกให้เอียงโดยให้ขอบถนนด้านนอกสูงกว่าขอบด้านใน เมื่อรถแล่นเลี้ยวโค้งบนพื้นถนนที่เอียงด้วยขนาดของความเร็วพอดีตามที่วิศวกรออกแบบไว้ ไม่ว่าจะเป็นรถยนต์ หรือรถจักรยานยนต์ แรงที่ถนนกระทำต่อรถจะพอดีและอยู่ในทิศตั้งฉากกับพื้นเอียงได้ ที่ความเร็วนั้นจึงไม่มีแรงเสียดทาน   $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f}$ ที่พื้นถนนกระทำต่อด้านข้างของล้อรถ องค์ประกอบของแรงตั้งฉากกับถนนในทิศขนานกับพื้นระดับ $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N}$ จะทำให้เกิดแรงสู่ศูนย์กลาง $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _c$ ดังรูป 4.17 โดยไม่ต้องอาศัยแรง $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f}$ ถ้ารถวิ่งด้วยอัตราเร็วที่ไม่พอดีรถจึงจะอาศัยแรง $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f}$ ช่วย องค์ประกอบของแรง $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N}$ ในแนวระดับคือ $N\sin \theta$ เมื่อยกขอบถนนให้เอียงทำมุม $\theta$ กับแนวระดับและวิ่งด้วยอัตราเร็วพอดีจากรูป 4.16 แรงสู่ศูนย์กลางคือ $N\sin \theta$
จาก      $F_c = \frac{{mv^2 }}{r}$
ดังนั้น   $N\sin \theta = \frac{{mv^2 }}{r}$
และ      $N\cos \theta = mg$
ดังนั้น   $\frac{{N\sin \theta }}{{N\cos \theta }}= \frac{{mv^2 }}{{rmg}}$
หรือ       $\tan \theta = \frac{{v^2 }}{{rg}}$                                                          (4.6)
สมการ 4.6 แสดงให้เห็นว่าในการสร้างถนนทางโค้งให้เอียงทำมุมกับแนวระดับนั้นต้องคำนึงถึงอัตราเร็วของรถขณะเลี้ยวและรัศมีของทางโค้งเพื่อให้การขับรถปลอดภัย
ตัวอย่าง 4.4        รถยนต์คันหนึ่งแล่นด้วยอัตราความเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง บนถนนโค้งที่มีรัศมีความโค้ง 150 เมตร ถ้าไม่คิดแรงเสียดทาน พื้นถนนควรเอียงทำมุมเท่าไร กับแนวระดับรถจึงจะเลี้ยวได้อย่างปลอดภัย

วิธีทำ     การหามุมที่พื้นถนนทำกับแนวระดับ หาได้จากสมการ
$\tan \theta = \frac{{v^2 }}{{rg}}$
ในที่นี้                  v = 16.67 m/s และ r = 150 m
แทนค่า    $\tan \theta = \frac{{(16.67m/s)^2 }}{{150m \times 9.8m/s^2 }} = 0.189$
$\theta = 10.7^\circ$
คำตอบ พื้นถนนจะต้องเอียงทำมุม 10.7 องศากับแนวระดับรถจึงจะเลี้ยวได้อย่างปลอดภัย

ตัวอย่าง 4.5 รถยนต์มวล 1,550 กิโลกรัม แล่นเลี้ยวบนถนนระดับ ซึ่งมีรัศมีความโค้ง 50 เมตร ด้วยอัตราเร็ว 36 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จงหาแรงเสียดทานระหว่างพื้นถนนกับยางรถที่มีค่าน้อยที่สุดที่ทำให้รถยนต์สามารถเลี้ยวได้อย่างปลอดภัย

วิธีทำ     แรงเสียดทานระหว่างพื้นถนนกับยางรถที่มีค่าน้อยที่สุดที่ทำให้รถยนต์สามารถเลี้ยวโค้งได้ คือแรงสู่ศูนย์กลาง
$F_c = \frac{{mv^2 }}{r}$
จะได้แรงสู่ศูนย์กลาง    ในที่นี้             m   =   1,550 kg, v =   10   m/s   และ   r   =   50 m
แทนค่า               $F_c = \frac{{1550kg \times (10m/s)^2 }}{{50m}}$
จะได้แรงสู่ศูนย์กลาง [texF]_c[/tex] =   3,100 N
คำตอบ แรงเสียดทานระหว่างพื้นถนนกับยางรถที่มีค่าน้อยที่สุดทำให้รถยนต์สามารถเลี้ยวได้อย่างปลอดภัย เท่ากับ 3,100 นิวตัน
เราสามารถใช้ความรู้ที่ศึกษามานี้อธิบายการเคลื่อนที่แบบวงกลมในแนวระดับของวัตถุในลักษณะอื่นๆ ได้ เช่น เพนดูลัมกรวย ได้เช่นกัน

ตัวอย่าง 4.6 ถ้าแกว่งเชือกยาว l ซึ่งเป็นวัตถุมวล m ผูกที่ปลายให้เคลื่อนที่แบบเพนดูลัมกรวย รัศมีของการเคลื่อนที่แบบวงกลมเท่ากับ r และวัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงตัว v จงหามุม $\theta$ ที่เส้นเชือกทำกับแนวดิ่ง

รูป 4.17 แสดงแรงกระทำต่อวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่แบบเพนดูลัม

วิธีทำ
ให้ T เป็นแรงดึงในเส้นเชือก แรงองค์ประกอบของ T ในแนวระดับเท่ากับ   $T\sin \theta$ ซึ่งเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง   F_c
จาก               $F_c = \frac{{mv^2 }}{r}$
แทนค่า         $T\sin \theta = \frac{{mv^2 }}{r}$
แรงองค์ประกอบของ T ในแนวดิ่งคือ   $T\cos \theta$ ซึ่งมีขนาดเท่ากับน้ำหนัก mg แต่กระทำต่อวัตถุในแนวตรงข้ามกัน ในสมดุล
$T\cos \theta = mg$
จะได้      $\frac{{T\sin \theta }}{{T\cos \theta }} = \frac{{mv^2 }}{r}\frac{1}{{mg}}$
$\tan \theta = \frac{{v^2 }}{{rg}}$

คำตอบ มุมที่เส้นเชือกทำกับแนวดิ่งเท่ากับ $\tan ^{ - 1} = (\frac{{v^2 }}{{rg}})$

การเคลื่อนที่แบบวงกลมในระนาบดิ่ง
การเคลื่อนที่แบบวงกลมในระนาบดิ่ง ได้แก่ การเคลื่อนที่ของลูกกลมโลหะไปตามรางรูปวงกลมในระนาบดิ่ง ทุกๆ หนแห่งที่ลูกกลมโลหะเคลื่อนที่ผ่านจะมีแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อลูกกลมโลหะเพื่อเปลี่ยนทิศของความเร็ว แรงสู่ศูนย์กลางมีค่าอย่างไรเมื่อลูกกลมโลหะอยู่ ณ ตำแหน่งต่างๆ ในรางรูปวงกลมจะต้องระลึกว่า เพราะลูกกลมถูกแรงโน้มถ่วงกระทำอยู่ตลอดเวลาด้วย ผลของแรงโน้มถ่วงที่กระทำนี้ จะทำให้อัตราเร็วของการเคลื่อนที่ไม่สามารถจะรักษาให้คงตัวได้ แต่จะต้องเป็นไปตามหลักการอนุรักษ์พลังงาน ซึ่งจะได้เรียนในบทต่อไป

รูป 4.18 การเคลื่อนที่เป็นวงกลมในระนาบดิ่ง

การคิดหาค่าแรงที่ต้องการที่จะกระทำให้วัตถุวิ่งโค้ง อาจทำได้ตามหลักเกณฑ์ปกติ เช่น กรณีลูกกลมโลหะอยู่ ณ ตำแหน่งล่างสุดของรางวงกลม แรงที่รางกระทำกับวัตถุจะเป็นเท่าใด ขณะที่วัตถุมีอัตราเร็ว v และรางมีรัศมีความโค้งเป็น r

รูป 4.19 แรงต่อการเคลื่อนที่เป็นวงกลมในระนาบดิ่งที่จุดต่ำสุด

ถ้าให้ F_c เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง จะได้
$\frac{{mv^2 }}{r} = F_c = N - mg$
แสดงว่า แรงที่รางดันลูกกลมโลหะในทิศตั้งฉาก
กับราง $N = \frac{{mv^2 }}{r} + mg$
แรงกระทำต่อวัตถุที่ตำแหน่งอื่นอาจจะหาได้ในทำนองเดียวกัน

ตัวอย่าง 4.7 ผูกวัตถุมวล 1 กิโลกรัม ด้วยเส้นเชือกยาว 1 เมตร แกว่งวัตถุให้เคลื่อนที่เป็นแนววงกลมในระนาบดิ่ง จงหาอัตราเร็ว ณ ตำแหน่งสูงสุด เมื่อแรงดึงในเส้นเชือกเท่ากับ 6 นิวตัน (กำหนดให้ g = 10 เมตร/วินาที )

รูป 4.20 สำหรับตัวอย่าง 4.7

          วิธีทำ
                             อัตราเร็ว ณ ตำแหน่งสูงสุดสามารถหาได้จาก
$F_c = \frac{{mv^2 }}{R}$
ในที่นี้แรงสู่ศูนย์กลางมาจากแรงดึงและน้ำหนักดังนั้น
F_c = (1kg ) x (10 m/s ) +6N
=    $\frac{{mv^2 }}{R}$
แทนค่ามวลและรัศมี จะได้   v^2 = 16 หรือ v = 4.0 m/s

คำตอบ อัตราเร็ว ณ ตำแหน่งสูงสุดเท่ากับ 4.0 เมตรต่อวินาที

อัตราเร็วเชิงมุม
การเคลื่อนที่ของวัตถุในแนววงกลมเป็นการเคลื่อนที่ในระนาบ xy ด้วยอัตราเร็วคงตัวระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ใน 1 หน่วยเวลาเป็นอัตราเร็วเชิงเส้น นอกจากวัตถุจะมีอัตราเร็วเชิงเส้นแล้วยังมีอัตราเร็วเชิงมุมซึ่งหมายถึง มุมที่รัศมีกวาดไปได้ใน 1 หน่วยเวลา ในรูป 4.21 แสดงให้เห็นว่าเราใช้มุม $\theta$ ที่วัตถุกวาดไปบนเส้นรอบวงกลมบอกตำแหน่งของวัตถุได้ ซึ่ง $\theta = \frac{s}{r}$ โดย s เป็นระยะทางบนส่วนโค้งวงกลมที่วัตถุกวาดไป และ r เป็นรัศมีวงกลม มุม $\theta$ ที่กำหนดในลักษณะนี้จะวัดเป็นเรเดียนซึ่งเป็นค่าตัวเลขการเปรียบเทียบตำแหน่งบนเส้นรอบวงกลมจากแนวอ้างอิง (ในรูปนี้คือแนวแกน x)
เนื่องจากความยาวของเส้นรอบวงกลม 1 รอบคือ $2\pi r$ ดังนั้นมุมที่กวาดไปครบ 1 รอบจึงเป็น $2\pi$ เรเดียน

รูป 4.21 แสดงวัตถุเคลื่อนที่ในแนววงกลมจาก A ไป B

จากรูป 4.21 วัตถุเคลื่อนที่ในแนววงกลมรัศมี r ด้วยอัตราเร็วคงตัว v ถ้าวัตถุเคลื่อนที่จาก A ไป B ใช้เวลา t และรัศมีวงกลมกวาดไปเป็นมุม $\theta$ ค่ามุมที่กวาดไปได้ในเวลา 1 หน่วยเวลาเรียกว่า อัตราเร็วเชิงมุม ใช้สัญลักษณ์ $\omega$ มีหน่วยเป็น เรเดียนต่อวินาที หรือ rad/s จะหาค่าได้จาก
$\omega = \frac{\theta }{t}$ (4.7)

ถ้าวัตถุเริ่มเคลื่อนที่จาก A ไปตามเส้นรอบวงกลมและกลับมาที่ A อีกครั้งหนึ่ง เป็นการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ จะได้เวลาในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ คือ คาบ T   และมุมที่รัศมีกวาดไปครบ 1 รอบเป็น $2\pi$ เรเดียน
ดังนั้น                    $\omega  = \frac{{2\pi }}{T}$                                                             (4.8)
และในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ จะได้ระยะทาง $2\pi r$
ดังนั้น อัตราเร็วเชิงเส้น     $v = \frac{{2\pi r}}{T}$                                  (4.9)
จะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง v กับ $\omega$ เป็น
$v = \omega r$
จาก                           $a_c = \frac{{v^2 }}{r}$
จะได้                          $a_c = \omega ^2 r$                                                          (4.10)
จาก                               F_c = ma_c
จะได้                             $F_c = m\omega ^2 r$                                                   (4.11)
สมการ (4.10) และ (4.11) เป็นการเขียนความเร่งและแรงสู่ศูนย์กลางในรูปของอัตราเร็วเชิงมุม

ตัวอย่าง 4.8    โลกหมุนรอบตัวเองครบ 1 รอบ ใช้เวลา 24 ชั่วโมง และรัศมีของโลกเท่ากับ 6.37 x 10⁶เมตร จงคำนวณหา
ก.อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุบนผิวโลก
ข.อัตราเร็วเชิงเส้นและขนาดของความเร่งสู่ศูนย์กลางของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของโลก
วิธีทำ
วัตถุบนโลกเคลื่อนที่ในแนววงกลมตลอดเวลา และเคลื่อนที่ครบ 1 รอบใช้เวลา 24 ชั่วโมง เนื่องจากโลกหมุนรอบตัวเอง
ก.    หาอัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุ
จาก                         $\omega = \frac{{2\pi }}{T}$
ในที่นี้                       T   =   86400 s
แทนค่า                                $\omega = \frac{{2 \times 3.0142}}{{86400}} = 7.27 \times 10^{ - 5} rad/s$

คำตอบ     อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุบนผิวโลกเท่ากับ $7.27 \times 10^{ - 5}$ เรเดียนต่อวินาที
ข.    หาอัตราเร็วเชิงเส้นของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตร
จาก                        $v = \omega r$
ซึ่ง                          $\omega = 7.27 \times 10^{ - 5} rad/s$ และ r = 6.37x 10⁶ m
แทนค่า                      $v = (7.27 \times 10^{ - 5} rad/s) \times (6.37 \times 10^{10} m)$
$v = 4.63 \times 10^2 m/s$
คำตอบ อัตราเร็วเชิงเส้นของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตร 463 เมตรต่อวินาที

หาขนาดของความเร่งสู่ศูนย์กลางของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของโลก
จาก                        $a_c = \omega ^2 r$
แทนค่า                   $v = (7.27\times 10^{- 5} rad/s) \times (6.37 \times10^{10} m)$
$a_c = 3.37 \times 10^{ - 2} m/s^2$
คำตอบ     ขนาดของความเร่งสู่ศูนย์กลางของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของโลกเท่ากับ   $displaystyle 3.37 \times 10^{ - 2} m/s^2$
หมายเหตุ   จากตัวอย่าง 4.8 จะเห็นว่าวัตถุที่อยู่บนผิวโลกมีความเร่งสู่ศูนย์กลาง ดังนั้น  กรอบอ้างอิงที่อยู่บนผิวโลกจึงไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อยที่แท้จริง แต่เราประมาณว่าเป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย

การเคลื่อนที่ของดาวเทียม
ดาวเทียมที่โคจรรอบโลกมีเป็นจำนวนมาก ดาวเทียมแต่ละดวงจะทำหน้าที่ต่างๆ กัน เช่น ดาวเทียมอุตุนิยมดาวเทียมสำรวจทรัพยากร ดาวเทียมสื่อสารและดาวเทียมจารกรรมททางทหารเป็นต้น ดาวเทียมแต่ละดวงมีรัศมีวงโคจรต่างกันแต่ต่างก็เคลื่อนที่รอบโลกในแนววงกลม โดยมีแรงที่โลกดึงดูดดาวเทียมเป็นแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อดาวเทียม ดาวเทียมแต่ละดวงจะเคลื่อนที่รอบโลกด้วยอัตราเร็วอย่างไร

รูป 4.22 การเคลื่อนที่ของดาวเทียมรอบโลก

จากรูป 4.22 ดาวเทียมมวล m โคจรรอบโลกด้วยอัตราเร็ว v ณ ตำแหน่งวงโคจรซึ่งห่างศูนย์กลางของโลกเป็นระยะ r ให้ M เป็นมวลของโลก F_c เป็นแรงสู่ศูนย์กลางซึ่งเป็นแรงดึงดูดที่โลกกระทำกับดาวเทียม และหาค่าของแรงนี้ได้จากกฎแรงดึงดูดระหว่างของนิวตัน
$F=\frac{{GMm}}{{r^2}}$
ดังนั้น $\frac{{mv^2}}{r}=\frac{{GMm}}{{r^2}}$
$v^2 = \frac{{GM}}{r}$                                                  (4.12)
จากสมการ (4.12) จะเห็นว่า ดาวเทียมที่มีรัศมีวงโคจรต่างกันจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเชิงเส้นต่างกันด้วย
การส่งดาวเทียมขึ้นไปสู่วงโคจรต่างๆ รอบโลกนั้น ได้มีการกำหนดรัศมีวงโคจรไว้ก่อน แล้วคำนวณหาแรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำกับดาวเทียมและอัตราเร็วเชิงเส้นในวงโคจรนั้นๆ เมื่อยิงดาวเทียมขึ้นไปจนมีความสูงหรือรัศมีของการโคจรตามต้องการแล้ว จึงปรับทิศทางและอัตราเร็วของดาวเทียมเพื่อให้เข้าสู่วงโคจรรอบโลกตามที่กำหนดไว้
เมื่อสังเกตดาวเทียมสื่อสารจากพื้นโลก จะเห็นดาวเทียมสื่อสารอยู่ ณ ตำแหน่งเดิมตลอดเวลา ที่เป็นเช่นนี้ เพราะดาวเทียมสื่อสารมีคาบของการโคจรรอบโลกเท่ากับคาบการหมุนของโลกรอบตัวเอง หรืออัตราเร็วเชิงมุมของดาวเทียมสื่อสารเท่ากับอัตราเร็วเชิงมุมในการหมุนรอบตัวเองของโลก และการที่ดาวเทียมสื่อสารอยู่ที่ตำแหน่งเดิมโดยไม่เปลี่ยนแปลง ทำให้สถานีภาคพื้นดินและดาวเทียมสามารถติดต่อกันได้ตลอดเวลา
ตัวอย่าง 4.9    โลกหมุนรอบตัวเองเท่ากับ 24 ชั่วโมง รัศมีวงโคจรรอบโลกของดาวเทียมสื่อสารจะต้องเป็นเท่าใดและมีอัตราเร็วเชิงมุมเท่าใด กำหนดให้ $G = 6.67 \times 10^{ - 11}$ นิวตัน เมตร² ต่อกิโลกรัม² มวลของโลก5.95 x 10²⁴กิโลกรัม
วิธีทำ
เนื่องจากคาบของดาวเทียมสื่อสารเท่ากับคาบของการหมุนรอบตัวเองของโลก
จาก                      $\omega = \frac{{2\pi }}{T}$
ในที่นี้              T      =     86,400 s
แทนค่า                          $\omega = 7.27 \times 10^{ - 5} rad/s$
จาก                                 $v^2 = \frac{{GM}}{r}$
และ                                 $v = \omega r$
จะได้                               $r^3 = \frac{{GM}}{{\omega ^2 }}$
แทนค่า                             $r^3 = 74848.19 \times 10^{18}$
$r = 42.14 \times 10^6 m$
คำตอบ รัศมีวงโคจรรอบโลกของดาวเทียมเท่ากับ $42.14 \times 10^6$ เมตร
อัตราเร็วเชิงมุมของดาวเทียมสื่อสารเท่ากับ $7.26 \times 10^{ - 5}$ เรเดียน/วินาที
คำตอบ รัศมีวงโคจรรอบโลกของดาวเทียมเท่ากับ $42.14 \times 10^6$ เมตร
อัตราเร็วเชิงมุมของดาวเทียมสื่อสารเท่ากับ $7.26 \times 10^{ - 5}$ เรเดียน/วินาที

การเคลื่อนแบบซิมเปิล์ฮาร์มอนิกส์

รูป 4.23 การเคลื่อนที่ของวัตถุติดสปริงบนพื้นราบ

ในรูป 4.23 วางมวลไว้บนพื้นราบ ผูกวัตถุเข้ากับปลายหนึ่งของสปริงโดยที่อีกปลายหนึ่งของสปริงผูกติดกับผนัง วัตถุจะอยู่นิ่งๆ บนพื้นในตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุออกจากตำแหน่งสมดุลแล้วปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่บนพื้นราบ วัตถุจะเคลื่อนที่กลับไปกลับมาผ่านตำแหน่งสมดุลและซ้ำเส้นทางเดิมการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้มีจำนวนมาก เช่น การสั่นของสายไวโอลินเมื่อถูกสี การสั่นของกลองเมื่อถูกตี การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ติดปลายลวดสปริง การเคลื่อนที่ของโมเลกุลอากาศเมื่อเคลื่อนเสียงส่งผ่าน การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในสายอากาศของเครื่องส่งวิทยุ เป็นต้น ปริมาณที่สำคัญอย่างหนึ่งของการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้ คือ ความถี่ ซึ่งหมายถึงจำนวนรอบของการเคลื่อนที่ใน 1 วินาที แทนสัญลักษณ์ f มีหน่วยเป็นเฮิรตซ์ (Hz) ซึ่ง 1 Hz = $1s^{ - 1}$
ความถี่จะเป็นส่วนกลับกับคาบ ดังสมการ (4.13) คาบคือ เวลาในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ ใช้สัญลักษณ์ T แทนคาบ คาบมีหน่วยเป็นวินาที (s)
$T = \frac{1}{f}$ (4.13)
การเคลื่อนที่ใดๆ ซึ่งเคลื่อนที่กลับไปมาซ้ำทางเดิม โดยผ่านตำแหน่งสมดุลและคาบของการเคลื่อนที่คงตัว ดังแสดงด้วยกราฟของการเคลื่อนที่ในแนวแกน x ดังรูป 4.24 เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบพีริออดิก(periodic motion)

รูป 4.24 กราฟของการเคลื่อนที่แบบพีริออดิก ทางแกน x

การเคลื่อนที่แบบพีริออดิกชนิดหนึ่งที่กราฟของการกระจัดกับเวลาอยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ความถี่คงที่มีค่าที่แน่นอนค่าเดียว เรียกว่า  การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (simple harmonic motion) นั่นคือ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นการเคลื่อนที่แบบพีริออดิกอย่างหนึ่ง อาจจะเรียกย่อๆ ว่า การเคลื่อนที่แบบ SHM การกระจัดทาง x ในรูปฟังก์ชันของเวลา t ของ SHM โดยทั่วไปเขียนเป็นสมการได้เป็น
$x = x_m \cos (\omega t + \phi )$                                      (4.14)
ซึ่ง   x_m , $\omega$ และ $\phi$ เป็นค่าคงตัว
x_m เป็นการกระจัดสูงสุด เรียกว่า แอมพลิจูด (Amplitude)
$\omega$ เป็นความถี่เชิงมุม มีค่าเท่ากับ $2\pi f$ เมื่อ f เป็นความถี่ หรือเท่ากับ $\frac{{2\pi }}{T}$ เมื่อ T เป็น คาบ (period)
$\phi$ เป็นค่าคงตัวทางเฟส (phase constant) หมายถึงเฟสเริ่มต้น คือค่าเฟสที่เวลาเป็นศูนย์ การเคลื่อนที่จะเป็นรูปไซน์หรือโคไซน์ขึ้นกับค่านี้ ถ้า   $\phi = 0$ ก็เป็นรูปโคไซน์ ถ้า   $\phi = - \frac{\pi }{2}$ ก็เป็นรูปไซน์ เนื่องจากรูปโคไซน์และรูปไซน์ต่างกันที่เฟสเท่านั้น จึงอาจเรียกรวมว่าเป็นฟังก์ชันรูปไซน์

(sinusoidal function)
$\omega t$ ในสมการ (4.14) นับเป็นเฟสที่เปลี่ยนไปตามเวลาของการเคลื่อนที่
จากสมการ (4.14) เมื่อเขียนกราฟระหว่างการกระจัดกับเวลา โดยมี $\phi$ ต่างๆ กันการกระจัดที่ตำแหน่งเริ่มต้นจะมีค่าขึ้นกับมุมเฟสเริ่มต้น $\phi$ ดังรูป 4.25

รูป 4.25 กราฟระหว่างการกระจัดกับเวลาของฟังก์ชันรูปไซน์ $\phi = 0, - \pi /4$ และ $- \pi /2$

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย จึงอาจจะเขียนได้ในรูป
$x = A\sin \omega t$ (4.15)
ถ้าอนุภาคเริ่มต้นเคลื่อนที่จากตำแหน่งสมดุล (x = 0) ซึ่งจะมีลักษณะเช่นเดียวกับกราฟของ
$x = A\cos \left( {\omega t - \frac{\pi }{2}} \right)$

สรุปได้ว่า สำหรับ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย คือการเคลื่อนที่ซึ่งมีการกระจัดเป็นฟังก์ชันของเวลาเป็นฟังก์ชันรูปไซน์

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเทียบกับการเคลื่อนที่เป็นวงกลม
ถ้านำดินน้ำมันก้อนโตพอเหมาะติดไว้ที่ขอบวงล้อกลมหรือแผ่นไม้วงกลมซึ่งหมุนได้คล่องในแนวระดับ เมื่อหมุนวงล้อให้อัตราเร็วเชิงมุมสม่ำเสมอ ดินน้ำมันจะเคลื่อนที่ในแนววงกลมด้วยอัตราเร็วสม่ำเสมอด้วย เมื่อฉายลำแสงขนานในแนวระดับไปที่ดินน้ำมัน ดังรูป 4.26 เงาของดินน้ำมันจะปรากฏบนฉากข้างหลัง โดยการเคลื่อนที่ของเงาจะกลับไปกลับมาในแนวตรงเป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

รูป 4.26 การฉายแสงผ่านวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ปรากฏเงาบนฉากเป็น SHM

เงาบนฉากของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ก็เหมือนกบการคิดองค์ประกอบทาง x ของการเคลื่อนที่ของจุดๆ หนึ่งเป็นวงกลมบนระนาบ xy ดังรูป 4.27 ให้ที่ขณะหนึ่งจุดนั้นอยู่ที่ตำแหน่งมุม   $\theta$ หลังจากเคลื่อนที่มาแล้วเป็นเวลา t จากจุดตั้งต้นบนแกน x ดังรูป การเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีอัตราเร็วสม่ำเสมอ ดังนั้น   $\theta = \omega t$ ถ้าวงกลมมีรัศมี r จะมีองค์ประกอบของตำแหน่งบนแกน x คือ
$x = r\cos \theta = r\cos \omega t$                                         (4.16)
และองค์ประกอบของความเร็วบนแกน x คือ
$v_x = - v\sin \theta = - r\omega \sin \omega t$                             (4.17)

รูป 4.27 จุด P เคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอบนระนาบ xy

จากความเร่งในทิศเข้าหาจุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากับ    $\omega ^2 r$ หรือ v^2 /r จะได้องค์ประกอบของความเร่งบนแกน x คือ
$a_x = - a\cos \theta = - \omega ^2 r\cos \omega t$                                         (4.18)
จะเห็นว่าตำแหน่งทาง x ในสมการ (4.16) เป็นอย่างเดียวกับสมการ (4.14) เมื่อ เมื่อ เมื่อ เมื่อ $\phi = 0$ ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย และเมื่อนำมาใช้ในสมการ (4.18) จะทำให้ได้ว่า
$a_x = - \omega ^2 x$                                               (4.19)
สมการ (4.19) แสดงลักษณะสำคัญประการหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย นั่นคือ การมีความเร่งเป็นปฎิภาคกับการกระจัดแต่มีทิศตรงกันข้าม เนื่องจาก $\omega^2$ มีค่าคงตัว ทั้งนี้ทิศของความเร่งจะเป็นทิศเดียวกับแรง และแรงจะต้องเป็นแรงเข้าหาจุดสมดุลในขณะที่การกระจัดมีทิศออกไปจากสมดุล
สำหรับการเคลื่อนที่ของดินน้ำมันไปตามแนววงกลม เมื่อเคลื่อนที่ครบ 1 รอบใช้เวลาที่เรียกว่าหนึ่งคาบ (period) หรือ T หนึ่งรอบหมายถึงดินน้ำมันจะเคลื่อนที่ไป $2\pi$ เรเดียน ดังนั้นอัตราเร็วเชิงมุม $\omega$ ของการเคลื่อนที่เป็นวงกลมจึงมีค่าเท่ากับ $\frac{{2\pi }}{T}$ ส่วนเงาของดินน้ำมันที่เคลื่อนที่กลับไปกลับมารอบตำแหน่งสมดุลจะมีความถี่ของการเคลื่อนที่เป็น   $f= \frac{1}{T}$ มีหน่วยเป็นรอบต่อวินาทีหรือเฮิรตซ์ (hertz, Hz) ความถี่เชิงมุม ( $\omega$ ) ของการเคลื่อนที่แบบ SHM มีค่าเป็น $2\pi f= \frac{{2\pi }}{T}$ ซึ่งมีค่าเหมือนกับอัตราเร็วเชิงมุม $\omega$ และมีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาทีเช่นเดียวกัน

รูป 4.28 การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของรถติดสปริง

เมื่อดึงรถทดลองให้สปริงยึดและรถออกจากตำแหน่งสมดุลเป็นระยะ A จะได้การกระจัดของรถทดลองมีค่า A และมีแรง $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}$ ของสปริงดึงรถทดลองไปทางซ้าย ดัง รูป 4.28 ก. แรงนี้เรียกว่า แรงดึงกลับ (restoring force) มีค่าตาม $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}=- k\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over x}$ ซึ่งแสดงว่าขนาดและแรงดึงกลับแปรผันตรงกับระระยืดหรือหดของสปริงหรือขนาดการกระจัด แต่แรงดึงกลับ $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}$ มีทิศตรงข้ามกับการกระจัด $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over x}$ โดย k เป็นค่าคงตัวของสปริง
เมื่อปล่อยมือ แรง $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}$ จะดึงรถทดลองเคลื่อนที่กลับไปทางซ้ายเข้าหาตำแหน่งสมดุลด้วยความเร่ง $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a}$ ทำให้ความเร็วมีขนาดเพิ่มขึ้นและมีทิศไปทางซ้าย ขนาดของแรง $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}$ จะลดลง เพราะขนาดการกระจัด $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over x}$ ลดลง การเคลื่อนที่เป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เมื่อรถทดลองเคลื่อนที่ถึงตำแหน่งสมดุล ขนาดของการกระจัด $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over x}$ เป็นศูนย์ ขนาดของ $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}$ และ $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a}$ ก็เป็นศูนย์แต่ความเร็ว $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v}$ ของรถทดลองจะมีค่ามากที่สุดและมีทิศไปทางซ้าย ดังรูป 4.28 ค
จากนั้นรถทดลองจะเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่งสมดุลไปทางซ้ายต่อไปอีก และอัดลวดสปริงให้หดสั้น ลวดสปริงก็จะออกแรง $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}$ มีทิศไปทางขวาต้านการเคลื่อนที่ของรถทดลอง ในขณะนี้รถทดลองจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง $\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v}$ ที่มีทิศไปทางขวาทำให้ความเร็วรถทดลองลดลงเรื่อยๆ จนกระทั่งความเร็วเป็นศูนย์ ขณะนี้รถทดลองมีการกระจัดค่า – A ดังรูป 4.28 จ แล้วเคลื่อนที่ต่อไปดังรูปซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เราอาจเขียนกราฟของการกระจัดกับเวลาของการเคลื่อนที่ของรถทดลองในรูป 4.28 ได้ดังรูป 4.29

รูป 4.29 กราฟของการกระจัดของเวลาสำหรับหนึ่งรอบของการเคลื่อนที่

เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของรถทดลองติดปลายสปริงที่เคลื่อนที่ แรงที่สปริงกระทำต่อรถทดลองจะมีค่าเป็น F = – kx   ถ้าให้ m เป็นมวลของรถทดลอง และ a เป็นความเร่งของรถทดลอง จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน
จะได้                        F   = ma = – kx
และ                          $a = - \frac{k}{m}x$                                                                                                                                       (4.20)
นั่นคือ การเคลื่อนที่ของรถทดลองติดสปริงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่าง่ายเช่นเดียวกับการเคลื่อนที่ของเงาของดินน้ำมัน มีความเร่งแปรผันตรงกับการกระจัด แต่มีทิศตรงกับข้าม
เทียบสมการ ( 4.20) กับสมการ (4.19) จะเห็นว่า ความเร่งคือ
$- \frac{k}{m}x = - \omega ^2 x$
ดังนั้น                      $\omega ^2 = \frac{k}{m}$
$\omega = \sqrt {\frac{k}{m}}$                                                  (4.21)
ความถี่เชิงมุมของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีความสัมพันธ์กับค่าคงตัวของสปริง และมวลของวัตถุที่ติดกับสปริง ดังสมการ 4.21

การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย
ลูกตุ้มอย่างง่ายคือ ลูกตุ้มที่ประกอบด้วยมวลขนาดเล็ก ตามอุดมคติเป็นจุด แขวนที่ปลายด้ายหรือเชือกอ่อน โดยธรรมชาติวัตถุแขวนห้อยในแนวดิ่งเป็นตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุให้เอียงทำมุมเล็กๆ กับแนวดิ่งแล้วปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่แกว่งกลับไปมา ซึ่งจะพิสูจน์ได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

รูป 4.30 ขณะเส้นเชือกเอียงทำมุมกับแนวดิ่งมีแรงกระทำเข้าหาจุดสมดุล

ขณะที่ปล่อยลูกตุ้มมวล m ซึ่งผูกกับเส้นเชือกยาว   $\ell$ เอียงเป็นมุม $\theta$ เรเดียนกับแนวดิ่ง
ลูกตุ้มมวล m จะมีแรงสองแรงกระทำต่อมวล m คือ น้ำหนักของลูกตุ้ม mg และแรงดึงในเส้นเชือก T ซึ่งทำมุม $\theta$ เรเดียนกับแนวดิ่ง ดังรูป 4.32 สองแรงนี้รวมกันได้แรงลัพธ์เป็น $mg\sin \theta$ ตามแนวเส้นสัมผัสซึ่งตั้งฉากกับเส้นเชือก
เนื่องจากแรง mg สามารถคิดแยกออกเป็น 2 แรงในแนวตั้งฉากกัน ดังรูป จะเห็นว่าแรง $mg\sin \theta$ เป็นแรงที่ดึงมวล m กลับสู่ตำแหน่งสมดุล ให้แรงนี้เป็นแรง F ขณะที่ $mg\cos \theta$ มีขนาดเท่ากับ T ทำให้เชือกตึงยาวเท่าเดิม เมื่อคำนึงถึงทิศด้วย แรงลัพธ์ F คือ
$F= - mg\sin \theta$
ถ้ามุม theta เป็นมุมเล็กๆ การเคลื่อนที่โค้งประมาณได้ว่าเป็นเส้นตรง คือการกระจัด x และ $\sin \theta = \frac{x}{\ell }$ จะได้
$F= - mg\frac{x}{\ell }$
จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน       F = ma
จะได้                       $- \frac{{mg}}{\ell }x = ma$
$a= - \frac{g}{\ell }x$
จะเห็นว่า ความเร่งของลูกตุ้มแปรผันตรงกับการกระจัด และมีทิศตรงกันข้ามการแกว่งของลูกตุ้มจึงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายด้วย
เนื่องจากอัตราเร่งของการแกว่ง                           $a = - \omega ^2 x$
ดังนั้น                                                               $\omega ^2 = \frac{g}{\ell }$
จาก    $\omega = 2\pi f$ จะได้   $f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{\ell }}$      (4.22)
หรือ                                    $T= 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}}$       (4.23)
สมการ (4.23) อาจนับว่าเป็นสมการที่ทำนายคาบของลูกตุ้มอย่างง่ายจากที่ได้วิเคราะห์มาตามหลักการของการเคลื่อนที่ที่ต้องเป็นไปตามกฎของนิวตัน คาบของการแกว่งจริงจะเป็นอย่างไร จะศึกษาจากการทดลองดังภาคการทดลองต่อไป

การทดลองและกิจกรรม

การทดลอง 4.1 การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
จุดประสงค์ เพื่อศึกษาลักษณะของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

วิธีการทดลอง

รูป 4.31 การติดตั้งอุปกรณ์การทดลอง 4.1

ตอนที่ 1 จัดตั้งอุปกรณ์
ประกอบรางอะลูมิเนียมเข้ากับแป้นไม้ ให้รางตอนล่างอยู่ในแนวระดับ แล้วติดกระดาษกราฟเข้ากับแป้นไม้ ดังรูป 4.31
ตัดกระดาษขาวและกระดาษคาร์บอนขนาดกว้างยาวเท่ากับแผ่นโลหะที่ใช้เป็นเป้าและปิดกระดาษขาวเข้ากับเป้า แล้วปิดกระดาษคาร์บอนทับกระดาษขาวโดยยึดติดเฉพาะปลายบนของกระดาษคาร์บอน จากนั้นวางเป้าให้ชิดปลายรางอะลูมิเนียมและด้านยาวของเป้าทาบบนเส้นทึบของกระดาษกราฟให้พอดี

ตอนที่ 2 หาเส้นทางการเคลื่อนที่
วางลูกกลมโลหะบนรางอะลูมิเนียมซึ่งใกล้ปลายรางตอนบน โดยถือไม้บรรทัดกั้นลูกกลมโลหะไว้ ยกไม้บรรทัดขึ้นอย่างรวดเร็ว ลูกกลมโลหะจะกลิ้งลงมาตามรางเข้าชนเป้าเมื่อยกปลายล่างของกระดาษคาร์บอนขึ้น จะเห็นจุดดำบนกระดาษขาว ซึ่งเป็นตำแหน่งที่ลูกกลมโลหะชนเป้า ทำเครื่องหมายบนกระดาษกราฟให้มีระดับตรงกับจุดดำบนเป้า ทำการทดลองซ้ำ แต่ละครั้งที่ทดลองต้องวางลูกกลมโลหะที่ตำแหน่งเดิมแต่เลื่อนเป้าออกไปครั้งละ 1 เซนติเมตร จนกระทั่งลูกกลมโลหะไม่กระทบเป้า
เมื่อทดลองเสร็จแล้ว ให้ลากเส้นผ่านจุดทุกจุดบนกระดาษกราฟ จะได้กราฟเป็นเส้นทางการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ของลูกกลม

ตอนนที่ 3 การวิเคราะห์โดยการเขียนกราฟ
กำหนดให้จุดบนกราฟจุดแรกซึ่งตรงกับจุดที่ลูกกลมโลหะกระทบเป้าเมื่อวางชิดปลายรางด้านล่างเป็นจุดกำเนิด ลากแกนนอนหรือแกน x และแกนยืนหรือแกน y จากกราฟที่ได้วัดการกระจัดในแนวระดับ x และการกระจัดในแนวดิ่ง y ของจุดต่างๆ พร้อมทั้งหาค่าการกระจัดในแนวระดับกำลังสอง x² ออกแบบตารางและบันทึกผลลงในตาราง เขียนกราฟระหว่างการกระจัดในแนวดิ่ง y กับการกระจัดในแนวระดับกำลังสอง x²
– เพราะเหตุใด ต้องปล่อยลูกกลมโลหะจากตำแหน่งเดียวกันทุกครั้ง
– แนวการเคลื่อนที่ของลูกกลมโลหะจากกระดาษกราฟบนแป้นไม้มีลักษณะอย่างไร
– จากกราฟระหว่างการกระจัดในแนวดิ่ง y กับการกระจัดในแนวระดับกำลังสอง displaystyle x^2
จะสรุปลักษณะของแนวการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ว่าเป็นแนวโค้งแบบใด

การทดลอง 4.2 คาบของการเคลื่อนที่แบบวงกลม
จุดประสงค์ เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างคาบและแรงสู่ศูนย์กลางของการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนววงกลมในระนาบระดับเมื่อรัศมีคงตัว
วิธีทดลอง

รูป 4.32 การจัดอุปกรณ์การทดลองการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนววงกลม

ใช้ชุดทดลองการเคลื่อนที่ในแนววงกลม ให้วัดระยะจากจุดกึ่งกลางของจุกยางตามแนวเส้นเชือกออกไปถึงปลายบนของหลอดพีวีซี ยาว 60 เซนติเมตร และใช้ลวดหนีบกระดาษหนีบเส้นเชือกห่างจากปลายล่างของหลอดพีวีซี ประมาณ 1 เซนติเมตร ใช้นอตแขวนที่ขอเกี่ยวโลหะ 2 ตัว ดังรูป 4.32 โดยใช้น้ำหนักของนอตประมาณเท่าๆ กัน และน้ำหนักของนอต 1 ตัว แทนแรงขนาด 1F จับทอพีวีซีแกว่งให้จุกยางเคลื่อนที่ในแนววงกลมในระนาบระดับด้วยความถี่พอดีที่ทำให้ลวดที่หนีบเส้นเชือกอยู่ห่างจากปลายล่างของหลอดพีวีซีประมาณ 1 หรือ 2 เซนติเมตรและไม่เลื่อนขึ้นหรือลง จับเวลาการเคลื่อนที่ของจุกยางครบ 30 รอบ แล้วนำมาคำนวณหาคาบ T ของการเคลื่อนที่ของจุกยาง ทำการทดลองซ้ำโดยเพิ่มจำนวนนอตเป็น 3,4,5 และ 6 ตัว ซึ่งจะทำให้ขนาดของแรงดึงในเส้นเชือกเป็น 3F 4F 5F และ 6F ตามลำดับ บันทึกขนาดของแรงดึงในเส้นเชือก F คาบของการแกว่ง T และส่วนกลับของคาบ การแกว่งกำลังสอง 1/T^2 ลงในตาราง เขียนกราฟระหว่างขนาดแรงดึงในเส้นเชือก F กับส่วนกลับของคาบกำลังสองแกว่ง 1/T^2
– เมื่อขนาดของแรงดึงในเส้นเชือกเพิ่มขึ้น ช่วงเวลาในการเคลื่อนที่ครบรอบของจุกยางเป็นอย่างไร
– กราฟระหว่างขนาดแรงดึงในเส้นเชือก F กับส่วนกลับของคาบกำลังสอง 1/T^2 มีลักษณะอย่างไร และจะสรุปความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณทั้งสองได้อย่างไร
– จากความสัมพันธ์ระหว่าง F กับ 1/T^2 จะสรุปความสัมพันธ์ระหว่างแรงดึงในเส้นเชือก F
อัตราเร็วของจุกยางกำลังสอง v^2 ได้อย่างไร
– แรงดึงในเส้นเชือกเป็นแรงสู่ศูนย์กลางของจุกยางได้หรือไม่ อย่างไร

การทดลอง 4.3 การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของรถทดลองซึ่งติดอยู่กับสปริง
จุดประสงค์ เพื่อศึกษาการกระจัดและความเร็วของรถทดลองซึ่งเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายในช่วงเวลาครึ่งคาบ
วิธีทดลอง
กดปลายหนึ่งของลวดสปริงกับขอบรางไม้ อีกปลายหนึ่งของลวดสปริงยึดติดกับรถทดลอง ติดแถบกระดาษกับรถทดลองแล้วสอดผ่านเครื่องเคาะสัญญาณเวลา ดึงรถทดลองออกห่างจากตำแหน่งสมดุล 6 เซนติเมตร กดสวิตช์ที่หม้อแปลงให้เครื่องเคาะสัญญาณเวลาทำงาน จากนั้นปล่อยมือให้รถทดลองเคลื่อนที่ เมื่อรถทดลองเริ่มเคลื่อนที่สวนกลับทางเดิม ให้ปิดสวิตช์
นำแถบกระดาษมาหาค่าการกระจัดของรถทดลอง โดยวัดจากตำแหน่งสมดุล และหาความเร็วที่เวลาต่างๆ ตลอดการเคลื่อนที่ กำหนดให้ปริมาณที่มีทิศไปทางขวามีเครื่องหมายบวก และปริมาณที่มีทิศไปทางซ้ายมีเครื่องหมายลบ เขียนกราฟระหว่างการกระจัดกับเวลาและความเร็วกับเวลา โดยให้เวลาเป็นแกนนอน
– พิจารณากราฟการกระจัดกับเวลา เปรียบเทียบกับกราฟความเร็วกับเวลา
1.    ณ เวลาที่การกระจัดเป็นศูนย์ ความเร็วของรถทดลองเป็นอย่างไร
2.    เวลาที่การกระจัดมากที่สุด ความเร็วของรถทดลองเป็นอย่างไร
– กราฟการกระจัดกับเวลา และกราฟความเร็วกับเวลาเป็นกราฟที่ได้จากการเคลื่อนที่ของ              รถทดลองกี่รอบ

การทดลอง 4.4 ลูกตุ้มอย่างง่าย
วัตถุประสงค์ เพื่อหาค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก g
วิธีทดลอง

รูป 4.33 แสดงการจัดอุปกรณ์ทดลอง

ใช้นอตขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 2.0 เซนติเมตร เป็นลูกตุ้มอย่างง่าย ผูกสายเอ็นยาวประมาณ 1 เมตรกับลูกตุ้ม ดังรูป 4.33 ใช้ไม้หนีบ (สำหรับหนีบเสื้อ) หนีบใกล้อีกปลายหนึ่งของเส้นเอ็น ยึดไม้หนีบกับขอบโต๊ะ (อาจใช้หนังสือหนักทับ) ให้ลูกตุ้มห้อยอยู่ในแนวดิ่ง ความยาวของเส้นเอ็น ( $\ell$ ) ให้วัดจากจุดล่างของที่หนีบถึงจุดศูนย์กลางของลูกตุ้ม
แกว่งลูกตุ้ม และจับเวลาการแกว่งเพื่อหาคาบ (T) โดยให้เปลี่ยนค่าความยาวของเส้นเอ็น รวม 6 ค่า การจับเวลาแต่ละครั้งให้จับเวลาเมื่อลูกตุ้มแกว่งครบ 30 รอบ 3 ครั้ง หาค่าเฉลี่ยของเวลาครบ 30 รอบ แล้วจึงหาคาบ จากนั้นเขียนกราฟระหว่าง T^2 กับ $\ell$ โดยให้ T^2 อยู่บนแกนตั้ง $\ell$ อยู่บนแกนนอน (ทำไมจึงควรเขียนกราฟระหว่าง T^2 กับ $\ell$ )
– จากกราฟ T^2 กับ $\ell$ มีความสัมพันธ์กันอย่างไร และความสัมพันธ์นี้มีความหมายย่างไร กับ $T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}}$
– หาค่า g จากความชันของกราฟ และประมาณความคลาดเคลื่อนที่เป็นไปได้ ค่า g ที่ได้จากการ
ทดลองเป็นเท่าใด