3.1 แรง (Force)
ตามความหมายที่ใช้กันทั่วไป แรงคือ สิ่งที่กระทำต่อวัตถุในรูปของการพยายามดึงหรือดันที่จะทำให้วัตถุนั้นเคลื่อนที่ และเมื่อมีแรงมากระทำต่อวัตถุ วัตถุจะเคลื่อนที่หรือไม่ก็ได้ ทั้งนี้อาจเพราะมีแรงอื่นกระทำต่อวัตถุด้วย เช่น ถ้าวัตถุวางบนพื้น แรงเสียดทานระหว่างพื้นกับวัตถุก็จะกระทำต่อวัตถุด้วย หากแรงที่กระทำต่อวัตถุไม่มากพอที่จะเอาชนะแรงเสียดทานวัตถุก็จะไม่เคลื่อนที่ หรือกรณีการออกแรงกระทำต่อวัตถุที่ยึดไว้อย่างแข็งแรง เช่น เสา หรือกำแพง เสาหรือกำแพงย่อมไม่เคลื่อนที่ เพราะแรงจากส่วนอื่นกระทำต่อวัตถุด้วย สำหรับวัตถุที่ไม่ได้ยึดไว้หรือมีแรงเสียดทานน้อย เช่นรถทดลอง แรงจะทำให้รถเคลื่อนที่ได้ และเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่เปลี่ยนไปตามทิศที่แรงกระทำซึ่งอาจจะสังเกตได้จากประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน เช่น การเตะลูกฟุตบอล หรือตีเทนนิส จะมีแรงกระทำต่อลูกฟุตบอลและลูกเทนนิสในช่วงเวลาสั้นๆ ที่ทำให้ลูกฟุตบอลและลูกเทนนิสเคลื่อนที่หรือเปลี่ยนความเร็วไปตามแรงกระทำ

แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ นั่นคือ แรงเป็นปริมาณที่ต้องกำหนดด้วยทั้งขนาดและทิศจึงจะมีความชัดเจนที่สมบูรณ์ ในกรณีที่มีแรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุ อาจจะหาแรงลัพธ์ (Resultant force, Net force) จากการรวมแรงทั้งหมดที่กระทำแบบเวกเตอร์ ถ้ามีแรงสองแรงซึ่งอยู่ในทิศที่ตั้งฉากกันกระทำ เช่น \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a} และ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over b} แรงลัพธ์คือ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over c} แผนภาพ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over c} = \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a} + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over b} แสดงได้ดังรูป 3.1
จากสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ว่า
\displaystyle c^{2 = } a^2  + b^2 หรือ \displaystyle c = \sqrt {a^2 }  + b^2          (3.1)
และเป็นความจริงที่ว่า ขนาดของ a และ b เป็นไปตาม
\displaystyle a = c\sin \theta และ \displaystyle b = c\cos \theta                              (3.2)
ในทางกลับกันอาจมองได้ว่า ถ้า \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over c}  เป็นแรงหนึ่งสามารถคิดได้ว่ามีองค์ประกอบเป็น \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a} และ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over b} ซึ่งมีทิศตั้งฉากกันและมีขนาดตามสมการ (3.2)

 
รูป 3.1 แสดง  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}}
\over c} = \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a} + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over b}
นั่นคือ แรงๆหนึ่งสามารถคิดแตกออกเป็นแรงสองแรงที่ตั้งฉากกันได้ ดังนั้น ในกรณีที่มีแรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุ จะสามารถหาแรงลัพธ์ได้จากการรวมองค์ประกอบทางแกน x และทางแกน y ของแรงต่างๆที่กระทำ ได้แรงลัพธ์ในรูปขององค์ประกอบทางแกน x และทางแกน y ซึ่งตั้งฉากกัน และเป็นไปตามสมการต่อไปนี้
\displaystyle F_{Rx} = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} + ... = \sum\limits_i {F_{ix} }
\displaystyle F_{Ry} = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} + ... = \sum\limits_i {F_{iy} }         (3.3)
ตัวอย่าง การหาผลลัพธ์ของ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1 และ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2  ดังรูป อาจทำได้โดยการหาองค์ประกอบทางแกน x และทางแกน y ก่อน ซึ่งองค์ประกอบทางแกน x ของแรงลัพธ์คือ \displaystyle (F_{1x} + F_{2x} ) และองค์ประกอบทางแกน y ของแรงลัพธ์คือ \displaystyle (F_{1y} + F_{2y} ) หรือจากการหาโดยแผนภาพของเวกเตอร์ โดยการต่อเวกเตอร์ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1 กับ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2  ดังแสดงในรูป 3.2
การหาองค์ประกอบของแรงลัพธ์จากการรวมองค์ประกอบของแรงต่างๆสามารถทำได้เสมอ ในทุกกรณี

กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

เซอร์ ไอแซก นิวตัน (Sir lssac Newton) นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ ได้สรุปเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุทั้งที่อยู่ในสภาพอยู่นิ่งและในสภาพที่เคลื่อนเป็น กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ซึ่งจะทำให้เข้าใจการเคลื่อนที่ต่างๆ ได้ทั้งหมด กฎของนิวตันมี 3 ข้อดังนี้

กฎข้อที่ 1 : “วัตถุจะคงสภาพอยู่นิ่ง หรือสภาพเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวในแนวตรงนอกจากจะมีแรงลัพธ์ ซึ่งไม่มีค่าเป็นศูนย์มากระทำต่อวัตถุนั้น” กฎข้อที่ 2 : “เมื่อมีแรงลัพธ์ ซึ่งมีขนาดไม่เป็นศูนย์ มากระทำต่อวัตถุ จะทำให้วัตถุเกิดความเร่งในทิศทางเดียวกับแรงลัพธ์ที่มากระทำ และขนาดของความเร่ง จะแปรผันตรงกับขนาดของแรงลัพธ์ และจะแปรผกผันกับมวลของวัตถุ” 
กฎข้อที่ 3 : “ทุกแรงกิริยา (Action Force) จะต้องมีแรงปฏิกิริยา (Reaction Force) ที่มีขนาดเท่ากันและทิศทางตรงข้ามเสมอ”

หากดูผิวเผินจะดูเหมือนว่า กฎข้อที่หนึ่งมีข้อความเป็นส่วนหนึ่งของกฎข้อที่สอง คือ เป็นกฎข้อที่สองกรณีที่แรงลัพธ์เป็นศูนย์ แต่ก็เป็นไปได้ว่า นิวตันตั้งใจเขียนกฎข้อที่หนึ่ง เพื่อกำหนดกรอบอ้างอิงที่ใช้กับกฎข้อที่ 2 กฎข้อที่ 1 ซึ่งกำหนดว่า  ในสภาพที่วัตถุอยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวแรงลัพธ์ต้องเป็นศูนย์ หรือไม่มีแรงกระทำต่อวัตถุ ซึ่งกรอบอ้างอิงที่จะเป็นอย่างนี้ได้จะต้องเป็นกรอบอ้างอิงที่ไม่มีความเร่ง หรือกรอบอ้างอิงเฉื่อย (inertial frame of reference)  ถ้ากรอบอ้างอิงมีความเร่ง อาจทำให้สังเกตเห็นวัตถุอยู่นิ่งได้ทั้งๆ ที่มีแรงลัพธ์กระทำ เช่น ผู้สังเกตในยานอวกาศที่โคจรรอบโลก (วัตถุนั้นไม่มีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์กับผู้สังเกต) ผู้สังเกตบนยานอวกาศซึ่งมีความเร่งถือว่าเป็นผู้สังเกตในกรอบอ้างอิงที่มีความเร่ง ไม่เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย
กฎข้อที่หนึ่งของนิวตันสามารถสาธิตให้เห็นได้โดยใช้ชุดสาธิตที่ออกแบบพิเศษให้แรงเสียดทานระหว่างวัตถุกับพื้นมีค่าน้อยมาก เช่น ถาดลดแรงเสียดทาน คือถาดพื้นราบที่โปรยด้วยเม็ดพลาสติกกลมขนาดเท่ากัน  หรือดีกว่านั้นคือใช้อุปกรณ์ที่เรียกว่า “air track” ซึ่งใช้เครื่องพ่นลมผ่านรูเล็กจำนวนมากยกให้วัตถุลอยขึ้นเล็กน้อยและสามารถเคลื่อนที่โดยมีแรงเสียดทานน้อยมาก ถ้าปรับเครื่องให้ได้ระดับ วัตถุจะหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวได้เพราะแรงดึงดูดของโลกจะหักล้างกับแรงยกวัตถุในแนวดิ่งได้พอดี วัตถุจึงเสมือนอยู่ในสภาพที่ไม่มีแรงกระทำ


รูป 3.3 แสดงรูปการเคลื่อนที่ของแผ่นโลหะบน air track เมื่อให้อากาศเป่าใต้แผ่นโลหะแรงเสียดทานจะน้อยมากทำให้แผ่นโลหะเคลื่อนที่เสมือนไม่มีแรงเสียดทาน

กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน
“เมื่อมีแรงลัพธ์ ซึ่งมีขนาดไม่เป็นศูนย์ มากระทำต่อวัตถุ จะทำให้วัตถุเกิดความเร่งในทิศทางเดียวกับแรงลัพธ์ที่มากระทำ และขนาดของความเร่ง จะแปรผันตรงกับขนาดของแรงลัพธ์ และจะแปรผกผันกับมวลของวัตถุ”

มวล (mass) ของวัตถุ เป็นสมบัติประจำตัวของวัตถุอย่างหนึ่ง เป็นสมบัติทางความเฉื่อยต่อการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ของวัตถุ มวลมีความสัมพันธ์กับน้ำหนักซึ่งจะได้เรียนต่อไป เราอาจจะรู้ว่าวัตถุมีมวลมากหรือน้อยได้ จากการใช้แรงพยายามเลื่อนวัตถุที่แขวนไว้หรือวัตถุบนถาดโปรยเม็ดพลาสติกไปมา

รูป 3.4 แสดงการขยับมวลต่างๆ บนถาดลดแรงเสียดทานไปมา เพื่อหาค่ามวล

จากการขยับแท่งในวัตถุในถาดลดแรงเสียดทาน  จะรู้สึกถุงการมีแรงต้านมือของวัตถุ ซึ่งพยายามต้านการเปลี่ยนแปลงสภาพการเคลื่อนที่ของวัตถุนั้น แสดงว่า วัตถุที่อยู่นิ่งพยายามอยู่นิ่งต่อไป ต้องมีแรงมากระทำจึงจะเคลื่อนที่ ในทำนองเดียวกัน วัตถุใดที่กำลังเคลื่อนที่อยู่แล้วก็พยายามเคลื่อนที่ต่อไป ต้องใช้แรงกระทำให้วัตถุนั้นหยุดนิ่ง
เราเรียก สมบัติความเฉื่อยต่อการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ของวัตถุ ว่า มวล ของวัตถุนั้น วัตถุที่มีมวลมากจะต้านการเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่ได้มาก ส่วนวัตถุที่มีมวลน้อยจะต้านการเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่ได้น้อย
มวล เป็น ปริมาณสเกลาร์ ในระบบเอสไอ ใช้หน่วยฐานของมวล เป็น กิโลกรัม มวลของวัตถุที่เคลื่อนที่มีความสัมพันธ์กับแรงที่มากระทำอย่างไร ศึกษาได้จากการทดลองดังรายละเอียดท้ายบทนี้
ผลการทดลอง   จากการทดลองสรุปเป็นความสัมพันธ์ได้ดังนี้
ในกรณีที่ใช้มวลค่าหนึ่งทดลอง เมื่อเขียนกราฟระหว่างขนาดความเร่ง (a) กับขนาดของแรง (F) เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด (หากชดเชยแรงเสียดทานได้ถูกต้อง) เราจึงสรุปได้ว่า เมื่อมวล m มีค่าคงตัว ขนาดของความเร่ง a จะแปรผันตรงกับขนาดของแรงลัพธ์ F ซึ่งเขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ว่า ความเร่งเป็นปฏิภาคโดยตรงกับแรง หรือ (โดยสัญลักษณ์)
ในกรณีที่ใช้แรงค่าคงตัว ทำการทดลองโดยใช้มวล m ของรถทดลองหลายๆค่า แต่ใช้แรงขนาดเดิมดึงรถจะพบว่า เมื่อมวลรถทดลองเพิ่มขึ้น ความเร่งของรถทดลองจะลดลง ในการนำผลการทดลองมาเขียนกราฟและวิเคราะห์ จะสรุปได้ว่า ขนาดของความเร่ง a แปรผกผันกับมวล m ดังนั้นจะเขียนโดยสัญลักษณ์ได้ว่า
\displaystyle a\alpha \frac{1}{m}                                                          (3.5)
จากความสัมพันธ์ (3.4) และ (3.5) จะสามารถนำมาสรุปรวมกันได้ว่า
\displaystyle a\alpha \frac{F}{m}
หรือ            \displaystyle F\alpha ma                                                        (3.6)
หลักการทางคณิตศาสตร์ช่วยให้เราสามารถเปลี่ยนความสัมพันธ์เชิงการแปรผันให้เป็นสมการได้ ความสัมพันธ์ (3.6) จะเขียนเป็นรูปสมการได้เป็น
F = kma                                                                         (3.7)
โดย k เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน ซึ่งอาจจะมีค่าเท่าใดก็ได้
ในหน่อยระบบเอสไอ เลือกให้ k = 1 โดยกำหนดหน่วยของแรง เป็น<b>นิวตัน</b> (newton) เมื่อมวลมีหน่วยเป็นกิโลกรัมและความเร่งมีหน่วยเป็นเมตร/วินาที\displaystyle ^2 กำหนดให้ <b>แรง 1 นิวตันเป็นแรงที่ทำให้วัตถุมวล 1 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง 1 เมตร/วินาที\displaystyle ^2</b>
ดังนั้นสมการ (3.7) จะเขียนได้ดังนี้
F = ma                                           (3.8)
สมการ (3.8) แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง ขนาดของแรง มวล และความเร่ง แรงและความเร่ง เป็นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งเป็นปริมาณที่มีทิศ แรงจะต้องเป็นแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุและทิศของความเร่งอยู่ในทิศเดียวกับทิศของแรงเสมอ
ดังนั้นสมการ (3.8) จึงสามารถเขียนในรูปของสมการเวกเตอร์ได้เป็น

\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} = m\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a}                   (3.9)

กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สามของนิวตัน
“ทุกแรงกิริยาจะต้องมีแรงปฏิกิริยาที่มีขนาดเท่ากันและทิศทางตรงข้ามเสมอ”
กฎข้อนี้ของนิวตันหมายถึง แรงที่กระทำระหว่างกัน เช่น โลกและดวงจันทร์ที่ดึงดูดกันแรงที่โลกดึงดูดดวงจันทร์ จะมีขนาดเท่ากับแรงที่ดวงจันทร์ดึงดูดโลก สองแรงนี้ ( ที่กระทำคนละวัตถุ) มีขนาดเท่ากันและทิศตรงกันข้าม จะนับแรงใดเป็นแรงกิริยาก็ได้ แรงระหว่างวัตถุทุกคู่จะเป็นไปตามกฎนี้ แรงที่เกิดขึ้นระหว่างวัตถุขณะชนกันก็เช่นกัน

ถ้า\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _{12} เป็น แรงที่กระทำต่อวัตถุก้อนที่หนึ่ง (กระทำโดยวัตถุก้อนที่สอง)
\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _{21} เป็น แรงที่กระทำต่อวัตถุก้อนที่สอง (กระทำโดยวัตถุก้อนที่หนึ่ง)
สมการเวกเตอร์ของแรงตามกฎข้อที่สามของนิวตัน จะเขียนได้เป็น
\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _{12}&nbsp; - \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _{21}               (3.10)

 


รูป 3.5 แรง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _{12} เป็นแรงที่กระทำต่อวัตถุก้อนที่หนึ่งโดยวัตถุก้อนที่สองและแรง\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _{21} เป็นแรงที่กระทำวัตถุก้อนที่สองโดยวัตถุก้อนที่หนึ่งเป็นปฏิกิริยาของ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _{12}

                   อีกตัวอย่างหนึ่งที่อาจทำให้เห็นได้ชัดคือ เอามือซ้ายกับมือขวามาดึงกัน สังเกตว่าออกแรงเพียงมือเดียวทำได้หรือไม่ ต่อไปใช้เครื่องชั่งสปริง 2 อัน เป็นเครื่องวัดแรง โดยใช้เครื่องชั่งเกี่ยวกันแล้วใช้มือทั้งสองออกแรงดึงที่สองปลาย ดังรูป 3.6 จะเห็นว่าเครื่องชั่งทั้งสองอ่านเท่ากันเสมอ ไม่ว่าแรงจะมากหรือน้อย


รูป 3.6  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1 เป็นแรงมือแรกดึงเครื่องชั่งสปริง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2  เป็นแรงที่เครื่องชั่งสปริงดึงมือแรก \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _3  เป็นแรงที่เครื่องชั่งสปริงดึงมือที่สอง และ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _4  เป็นแรงที่มือที่สองดึงเครื่องชั่งสปริง

ขณะที่วัตถุก้อนหนึ่งออกแรงกระทำต่อวัตถุอีกก้อนหนึ่ง วัตถุก้อนที่ถูกแรงกระทำก็จะออกแรงกระทำต่อวัตถุก้อนแรก ด้วยขนาดของแรงที่เท่ากันเสมอ แต่มีทิศตรงข้ามกัน แรงทั้งสองนี้ คือ แรงกิริยา -ปฏิกิริยา  (action – reaction) ความสัมพันธ์ระหว่างแรงกิริยากับแรงปฏิกิริยาดังกล่าวนี้ นิวตันได้สรุปไว้เป็นกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สาม
นอกจากแรงคู่กิริยา – ปฏิกิริยาที่เกิดจากวัตถุมีการสัมผัสกัน คราวนี้ใช้แท่งแม่เหล็กดูดแท่งเหล็กเข้าใกล้ พบว่าแรงที่กระทำต่อกันนั้นไม่ได้เกิดจากวัตถุสัมผัสกันโดยตรง รวมทั้งในกรณีที่แท่งแม่เหล็กผลักกันด้วย
สำหรับในกรณีที่ใช้เชือกดึงวัตถุแขวนไว้ เราสามารถวิเคราะห์หาแรงที่เกี่ยวข้องโดยเขียนแผนภาพของแรงได้ดังรูป 3.7 (จากรูปแรงปฏิกิริยาของน้ำหนักของวัตถุอยู่ที่ใด ?)
ถ้ามวลของเส้นเชือกน้อยมาก แรงที่ดึงเส้นเชือกทั้งสองปลายจะเท่ากัน (เพราะเส้นเชือกไม่มีน้ำหนัก) และการที่วัตถุอยู่นิ่งหมายถึงแรงที่เชือกดึงวัตถุมีขนาดเท่ากับน้ำหนักของวัตถุ ทำให้แรงลัพธ์บนวัตถุเป็นศูนย์ ตามกฎของนิวตันจะหาได้ว่าแรงที่เชือกดึงเพดานเท่ากับน้ำหนักของวัตถุ จึงเสมือนว่า แรงน้ำหนักส่งผ่านเส้นเชือกไปถึงเพดาน แรงที่เพดานดึงเชือกและแรงที่วัตถุดึงเชือกเป็นแรงที่สองปลายของเส้นเชือกมีขนาดเท่ากันด้วย และทุกส่วนของเส้นเชือกมีแรงดึงซึ่งกันและกัน ทำให้เส้นเชือกตึง แรงดึงในเส้นเชือก นิยม เรียกว่า ความตึง (Tension) ของเส้นเชือก
น้ำหนัก (Weight)
จากการศึกษาการตกแบบเสรีของวัตถุใกล้ผิวโลก เราทราบว่าความเร่งของวัตถุมีค่าคงตัว และจากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันเราทราบว่า จะต้องมีแรงลัพธ์ไม่เป็นศูนย์มากระทำต่อวัตถุ วัตถุนั้นจึงมีความเร่ง แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุนี้ก็คือ แรงดึงดูดของโลกซึ่งกระทำต่อวัตถุอยู่ตลอดเวลานั้นเอง เราเรียกแรงนี้ว่า น้ำหนัก \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} ของวัตถุ

พิจารณาวัตถุมวล m ซึ่งตกแบบเสรีด้วยความเร่ง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over g} จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน จะเขียนน้ำหนักของวัตถุได้เป็น\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W}
\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over w} = m\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}}\over g}                      (3.11)
เนื่องจาก น้ำหนักเป็นแรง น้ำหนักจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งมีทิศเดียวกับความเร่ง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}}
\over g}  และมีหน่วยเป็นนิวตัน แต่เราอาจเขียน W แทนขนาดของน้ำหนักโดยละทิศไว้ในฐานที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีทิศลงและตั้งฉากกับผิวโลก หรือเข้าสู่จุดศูนย์กลางของโลก
เนื่องจากในบริเวณเดียวกันค่า g จะเท่ากัน ถ้าพิจารณาวัตถุสองก้อนซึ่งแต่ละก้อนมีมวล \displaystyle m_1 และ \displaystyle m_2  ตามลำดับ อัตราส่วนระหว่างมวลของวัตถุทั้งสองจะสัมพันธ์กับอัตราส่วนระหว่างน้ำหนักของวัตถุทั้งสองอย่างไร
น้ำหนักของมวล \displaystyle m_1  หาได้จาก \displaystyle W_1 = m_1 g
น้ำหนักของมวล \displaystyle m_2  หาได้จาก \displaystyle W_2 = m_2 g
จะได้ อัตราส่วนระหว่างน้ำหนักของมวลทั้งสอง เป็น
\displaystyle \frac{{W_1 }}{{W_2 }} = \frac{{m_1 g}}{{m_2 g}} = \frac{{m_1 }}{{m_2 }} (3.12)
จะเห็นได้ว่า อัตราส่วนระหว่างมวลของวัตถุสองก้อนเท่ากับอัตราส่วนระหว่างน้ำหนักของวัตถุทั้งสอง ที่อยู่บริเวณเดียวกันความจริงนี้ทำให้สามารถวัดมวลหรือเปรียบเทียบมวลได้อย่างละเอียดโดยการวัดน้ำหนักหรือแรงดึงดูดของโลก เครื่องชั่งสปริงเป็นเครื่องวัดน้ำหนักโดยตรง เพราะแรงที่ทำให้สปริงยืดคือแรงดึงดูดของโลกที่กระทำต่อมวลก้อนนั้น การชั่งน้ำหนักควรมีหน่วยเป็นนิวตัน แต่เครื่องชั่งทั่วไปบอกหน่วยเป็นกิโลกรัม ซึ่งเป็นหน่วยของมวล ซึ่งก็คือเป็นการเปรียบเทียบมวลนั่นเอง


รูป 3.7 วัตถุแขวนจากเพดานด้วยเชือก

– ถ้าใช้มือจับเชือกไว้ แรงที่เส้นเชือกดึงมือ กับแรงที่เส้นเชือกดึงวัตถุ มีขนาดเท่ากันหรือไม่ เพราะเหตุใด
ในกรณีของโลกกับดวงจันทร์ จากกฎแรงดึงดูดระหว่างมวล (จะได้ศึกษาต่อไป) เราทราบว่า โลกดึงดูดดวงจันทร์และดวงจันทร์ดึงดูดโลกด้วยแรงที่มีขนาดเท่ากันแต่มีทิศตรงข้ามกัน แรงคู่นี้ยังเป็นแรงกิริยา – ปฏิกิริยา ตามกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สามของนิวตัน นอกจากนี้ยังมีแรงระหว่างปะรุไฟฟ้า ต่างก็เป็นแรงกิริยา – ปฏิกิริยา เช่นเดียวกัน
ดังนั้น แรงกิริยา – ปฏิกิริยาเกิดขึ้นเสมอทั้งกรณีที่วัตถุสัมผัสกัน หรือไม่สัมผัสกัน

กฎแรงดึงดูดระหว่างมวลนิวตัน

นักดาราศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ในสมัยโบราณสังเกตพบว่า ดวงจันทร์โคจรรอบโลกส่วนโลกและดาวเคราะห์ต่างๆ โคจรรอบดวงอาทิตย์ โดยวงโคจรของดวงจันทร์หรือดาวเคราะห์มีลักษณะเป็นวงกลมหรือวงรี แม้แคปเลอร์ (Kepler) จะพบกฎการโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ได้ แต่ก็ยังไม่มีใครสามารถอธิบายเหตุผลในการโคจรลักษณะเช่นนี้ได้ จนกระทั่งนิวตันได้นำผลการสังเกตของนักดาราศาสตร์ทั้งหลายมาสรุปว่า การที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ได้ เนื่องจากมีแรงกระทำระหว่างดวงอาทิตย์กับดาวเคราะห์
เขาเชื่อว่าแรงนี้เป็นแรงดึงดูดระหว่างมวลของดวงอาทิตย์กับมวลของดาวเคราะห์และยังเชื่อต่อไปว่าแรงดึงดูดระหว่างมวลเป็นแรงธรรมชาติ และจะมีแรงดึงดูดระหว่างวัตถุทุกชนิดที่มีมวลในเอกภพ นิวตันจึงเสนอกฎแรงดึงดูดระหว่างมวลซึ่งมีใจความว่า
“วัตถุทั้งหลายในเอกภพจะออกแรงดึงดูดซึ่งกันและกัน โดยขนาดของแรงดึงดูดระหว่างวัตถุคู้หนึ่งๆ จะแปรผันตรงกับผลคูณระหว่างมวลวัตถุทั้งสองและจะแปรผกผันกับกำลังสองระยะทางระหว่างวัตถุทั้งสองนั้น”


รูป 3.8 แรงดึงดูดระหว่างมวลของวัตถุคู่หนึ่ง

ถ้า\displaystyle m_1 และ\displaystyle m_2 เป็น มวลของวัตถุทั้งสองซึ่งอยู่ห่างกันเป็นระยะทาง R ขนาดของแรงดึงดูดระหว่างมวล \displaystyle F_g เป็นขนาดของทั้ง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _{12}และ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}}
\over F} _{21}ตามกฎแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตัน จะเป็นไปตามสมการ
\displaystyle F_g = \frac{{Gm_1 m_2 }}{{R^2 }}                                   (3.13)
G เป็นค่าคงตัวของแรงดึงดูดระหว่างมวล และเป็นค่าเดียวกันเสมอไม่มีวัตถุที่ดึงดูดกันจะเป็นวัตถุใดๆ ก็ตาม G นี้เรียกว่า ค่าคงตัวความโน้มถ่วงสากล     (universal gravitational constant)
กฎแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตันตามสมการ (3.13) นี้ช่วยให้สามารถคำนวณหาแรงดึงดูดระหว่างวัตถุคู่หนึ่งๆได้ เมื่อทราบค่าคงตัว G เนื่องจาก G มีค่าเท่ากับ \displaystyle \frac{{F_g R^2 }}{{m_1 m_2 }} ในทางปฏิบัติการหาค่า G นั้น ค่ามวล \displaystyle m_1  และ \displaystyle m_2  หาได้ด้วยการชั่ง ส่วนระยะทางระหว่างมวลทั้งสอง R ก็สามารถวัดได้ ในกรณีที่วัตถุมีขนาดใหญ่เหมือนรูปทรงกลม ระยะ R คือระยะทางระหว่างศูนย์กลางของทรงกลมทั้งสอง แต่มวลที่ใช้ในห้องปฏิบัติการโดยทั่วไปแล้วจะทำให้เกิดแรงดึงดูดน้อยมาก การวัดขนาดแรงดึงดูด \displaystyle F_g จึงทำได้ยากมาก แต่เฮนรีคาเวนดิช (Henry Cavendish) นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษสามารถคิดวิธีวัดแรงดึงดูดค่าน้อยๆ นี้ได้ โดยใช้เครื่องชั่งแบบแรงบิด (torsion balance) และสามารถหาค่าของ G ได้ (ประมาณ 100 ปี หลังจากนิวตันได้ตั้งกฎนี้ขึ้น)การทดลองวัดค่าแรงดึงดูดระหว่างมวลของคาเวนดิช

เฮนรี คาเวนดิช นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษสามารถคิดวิธีวัดแรงดึงดูดค่าน้อยๆ นี้โดยใช้คานเบา ยาวประมาณ 2 เมตรและมีลูกกลมเล็กๆ ทำด้วยตะกั่ว ติดที่ปลายคานด้านละลูก ดังรูป 3.9คานนี้ถูกแขวนด้วยสายควอทซ์เส้นเล็กๆ คาเวนดิชทดลองหามาก่อนแล้วว่า ต้องใช้แรงเท่าใด ในการทำให้คานและสายควอทซ์บิดไปเป็นมุมต่างๆ เมื่อคาเวนดิชนำลูกกลมใหญ่ทำด้วยตะกั่วมาใกล้ลูกกลมเล็กที่ปลายคานข้างละลูก โดยให้ห่างจากลูกกลมเล็กเท่ากันสายควอทซ์จะบิดและลูกกลมเล็กจะเบี่ยงเบนไปอยู่ในตำแหน่งสมดุลใหม่ จากการวัดมุมที่สายควอทซ์บิดไป คาเวนดิชคำนวณหาแรงดึงดูดระหว่างลูกกลมเล็กและลูกกลมใหญ่ได้ เมื่อวัดมวลของลูกกลม และระยะทางระหว่างลูกกลมแล้ว คาเวนดิช สามารถหาค่าคงตัวความโน้มถ่วงสากล G ได้ ตามระบบเอสไอค่า G ที่เป็นที่ยอมรับปัจจุบันมีค่า  \displaystyle 6.673 \times 10^{ - 11} Nm^2 /kg^2


รูป 3.9 แผนภาพเครื่องมือในการทดลองหาค่าคงตัวความโน้มถ่วงสากลของคาเวนดิช

จากตัวอย่างดังกล่าวจะเห็นว่า แรงโลกดึงดูดดวงจันทร์มีค่ามาก ส่วนแรงดึงดูดระหว่างมวลต่างๆ ที่เราพบเห็นในชีวิตประจำวันมีค่าน้อยมาก นอกจากนี้ยังพบ  แรงดึงดูดระหว่างมวลของโลกกับมวลของวัตถุ คือ น้ำหนักวัตถุนั่นเอง
ในการหามวลของวัตถุต่างๆ บนโลกเราอาจหาได้โดยใช้เครื่องชั่ง แต่กรณีที่วัตถุมีขนาดใหญ่มาก เช่น โลก ดวงจันทร์ ดวงอาทิตย์ ดาวเคราะห์ต่างๆ เราไม่สามารถใช้เครื่องชั่งชั่งมวลที่มีขนาดใหญ่เช่นนั้นได้ แต่เราสามารถใช้กฎแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตัน คำนวณหามวลของวัตถุขนาดใหญ่ๆ เช่น โลก และดวงดาวได้ กฎแรงดึงดูดระหว่างมวลทำให้สามารถเข้าใจสมบัติและลักษณะการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ ดวงจันทร์ ได้เป็นอย่างดี อาจพิสูจน์ได้ว่าแรงที่เป็นปฏิภาคกับ \displaystyle \frac{1}{{R^2 }} ทำให้วงโคจรโดยทั่วไปจะเป็นวงรี (ellipse) วงกลมอาจถือว่าเป็นกรณีพิเศษของวงรี

น้ำหนัก ณ ตำแหน่งที่ห่างจากผิวโลก
เมื่อวัตถุอยู่ห่างจากผิวโลก แรงที่โลกดึงดูดวัตถุจะน้อยลง ซึ่งแสดงให้เห็นได้จากสมการ      \displaystyle F_g = \frac{{Gm_1 m_2 }}{{R^2 }}  โดยที่ G, \displaystyle m_1  โดยที่ G, \displaystyle m_1  และ \displaystyle m_2 มีค่าคงตัว ดังนั้น  \displaystyle F_g \alpha \frac{1}{{R^2 }} ซึ่งหมายความว่าถ้า R มีค่ามาก F จะมีค่าน้อย

แรงที่โลกดึงดูดวัตถุ \displaystyle F_g คือน้ำหนักของวัตถุ แสดงว่า น้ำหนักของวัตถุจะลดลงเมื่อวัตถุอยู่ห่างผิวโลกมากขึ้น เนื่องจาก \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}}
\over F} _g = m\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}}
\over g} ดังนั้นค่าความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วง g จะมีค่าลดลงเมื่อวัตถุอยู่ห่างจากผิวโลกมากขึ้น ขนาดของ g เกี่ยวข้องกับระยะห่างจากศูนย์กลางโลกอย่างไร


รูป 3.10 แสดงวัตถุมวล  m อยู่ห่างจากโลกเป็นระยะทาง R

เนื่องจากแรงดึงดูดระหว่างมวล \displaystyle m_E ของโลกกับมวล m ของวัตถุ = น้ำหนักของวัตถุ

\displaystyle \frac{{GM_E m}}{{R^2 }} = mg
\displaystyle g = \frac{{GM_E }}{{R^2 }}                         (3.14)
ค่า g ในสมการ (3.14) เป็นค่าของแรงดึงดูดต่อมวล และเป็น ค่าของสนามโน้มถ่วง (gravitational fieeld) ของโลก ณ ตำแหน่งนั้นๆ ซึ่งขึ้นกับระยะ R จากจุดศูนย์กลางของโลกตั้งแต่ผิวโลกขึ้นไป สนามหมายถึงบริเวณที่มีแรงกระทำอยู่ ถ้าปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่วัตถุก็จะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง g ค่านี้บางทีเรียกค่า ความโน้มถ่วง  (gravity) ซึ่งอาจเป็นของโลก ดวงจันทร์ หรือที่ผิวของดาวอื่น แต่ค่าโน้มถ่วงจะเป็นค่าตามที่วัดได้ คืออาจรวมผลจากการหมุนของโลกด้วย ทำให้ค่า g บนผิวโลกแต่ละที่ต่างกันไปจาก 9.780 m/s\displaystyle ^2 บริเวณเส้นศูนย์สูตร จนถึง 9.832 m/s\displaystyle ^2บริเวณขั้วโลก ค่าเฉลี่ยที่ถือเป็นมาตรฐาน คือ 9.8065 m/s\displaystyle ^2 ค่า g สำหรับกรุงเทพฯ คือ 9.783 m/s\displaystyle ^2

จากสมการ (3.14) มีค่าลดลงตามลำดับความสูงและเป็นปฏิภาคผกผันกับระยะห่างจากศูนย์กลางของโลกกำลังสอง \displaystyle&nbsp; (R^2 )หรือ \displaystyle g\alpha \frac{1}{{R^2 }}

สภาพไร้น้ำหนัก

ตามความหมายของน้ำหนัก ซึ่งหมายถึงแรงโน้มถ่วงของโลกที่กระทำต่อวัตถุ หรือถ้าเป็นน้ำหนักบนดวงดาวอื่นก็คือแรงโน้มถ่วงบนดาวดวงนั้นกระทำต่อวัตถุ ในที่นี้เราจะพิจารณาน้ำหนักที่เกิดขึ้นจากแรงโน้มถ่วงของโลกเท่านั้น เพราะเหตุว่าน้ำหนักของวัตถุมีความสัมพันธ์กับค่าความเร่ง g และ g ก็มีความสัมพันธ์กับ R (ระยะจากศูนย์กลางของโลก) ดังสมการ (3.14)
ถ้า R มีค่ามาก จะทำให้ค่า g เข้าสู่ศูนย์ หมายความว่าวัตถุที่อยู่ห่างโลกมากๆ แรงโน้มถ่วงของโลกที่กระทำต่อวัตถุจะน้อยมาก จนเกือบมีค่าเป็นศูนย์ได้ แต่เราทราบว่าที่ระยะถึงดวงจันทร์ หรือดวงอาทิตย์ ก็ยังมีแรงดึงดูดของโลกอยู่ (มีค่าเท่ากับที่ดวงอาทิตย์ดึงดูดโลก)
สำหรับคนที่อยู่ในดาวเทียมที่กำลังโคจรรอบโลกอยู่ จะไม่รู้สึกว่ามีน้ำหนักเลย ทั้งนี้ในการเคลื่อนที่สัมพัทธ์กับตัวดาวเทียม ทุกสิ่งทุกอย่างปรากฏเสมือนลอยอยู่ในดาวเทียมได้โดยไม่ตก เช่น เวลาเทน้ำออกจากแก้ว น้ำก็ลอยเป็นก้อนกลมอยู่ (เป็นทรงกลมจากความตึงผิว) ความจริงทุกสิ่งทุกอย่างในดาวเทียมเคลื่อนที่เป็นวิถีโค้งอย่างเดียวกับดาวเทียม สิ่งที่เกิดขึ้นเรียกว่า สภาพไร้น้ำหนัก (weightlessness)
ดังนั้น สภาพไร้น้ำหนักเป็นสภาพที่ปรากฏเฉพาะต่อผู้สังเกตที่มีความเร่ง เช่นคนที่อยู่ในดาวเทียม ทั้งที่ความจริงยังมีแรงที่โลกดึงดูดอยู่ และแรงที่โลกดึงดูดนี้ทำให้ผู้สังเกตนั้นมีความเร่งและเคลื่อนที่เป็นวิถีโค้ง แต่ผู้สังเกตคิดว่าตนเองอยู่กับที่เสมอ จึงเห็นตนเองอยู่กับที่ในดาวเทียมซึ่งเคลื่อนที่เป็นวิถีโค้งเช่นกัน ถ้าอยู่ในลิฟท์ที่ขาดและตกลงด้วยความเร่ง ทุกคนในนั้นก็ตกลงด้วยความเร่งเท่ากัน ช่วงที่กำลังตกก่อนถึงพื้นก็จะอยู่ในสภาพไร้น้ำหนักเช่นเดียวกัน

จุดศูนย์กลางมวล และจุดศูนย์กลางของความโน้มถ่วง

นอกจากความหมายของคำว่ามวลที่นักเรียนได้ทราบมาแล้ว ยังมีคำว่า จุดศูนย์กลางมวล (center of mass, c.m.) อีกคำหนึ่งที่เข้ามาเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ เพราะว่าการเคลื่อนที่ที่เป็นไปตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันที่ผ่านมา คิดเสมือนว่าวัตถุเป็นจุด (point) และมวลของวัตถุรวมที่จุดนี้ ในความเป็นจริงวัตถุมีขนาดไม่ได้เป็นจุด การออกแรงกระทำต่อวัตถุเพื่อให้วัตถุมีการเลื่อนตำแหน่งโดยไม่หมุน แรงต้องกระทำผ่านจุดศูนย์กลางมวล ซึ่งเปรียบเสมือนจุดรวมของมวลวัตถุทั้งก้อน สำหรับวัตถุแข็งเกร็งตำแหน่งของจุดนี้จะอยู่ประจำที่ ถ้าวัตถุที่เป็นจุดมวลสองจุดมีมวลเท่ากัน อยู่แยกกัน จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ใกล้ค่ามวลที่มากกว่า สำหรับมวล  \displaystyle m_1  และ \displaystyle m_2  อยู่บนแกน x อาจหา ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล ได้จากสมการต่อไปนี้ คือ
\displaystyle Mx_{c.m.} = m_1 x_1 + m_2 x_2                                             (3.15)

หรือ \displaystyle x_{c.m.} = \frac{{m_1 x_1 + m_2 x_2 }}{M} เมื่อ M แทนมวลรวม \displaystyle (m_1 + m_2 )
หากมีจุดมวลหลายจุดกระจายอยู่ตามที่ต่างๆ ในสามมิติ ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลหาได้

\displaystyle M\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _{c.m.} = m_1 \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over r} _1 + m_2 \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over r} _2 + ... = \sum {_i } m_i \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over r} _i              (3.16)
เมื่อ M เป็นมวลทั้งหมด \displaystyle M = \sum {_i } m_i และสมการ (3.16) สามารถคิดแยกเป็นองค์ประกอบได้
ในกรณีที่วัตถุเป็นแท่งหรือเป็นแผ่นที่มีความหนาแน่นมวลสม่ำเสมอ จุดศูนย์กลางมวลอาจจะหาได้จากความสมมาตรของรูปร่าง หรือจากวิธีแคลคูลัส
แรงที่มีแนวกระทำผ่านหรือไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของมวล จะทำให้เกิดการเคลื่อนที่ที่ไม่มีหรือมีการหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล ความจริงนี้อาจแสดงได้โดยการดีดหรืออกแรงกระทำต่อแท่งดินสอบนพื้นราบ ดังรูป 3.11 แรงกระทำที่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล จะทำให้เกิดโมเมนต์ของแรงรอบจุดศูนย์กลางมวล มีผลทำให้วัตถุหมุน ดังจะได้ศึกษาในบทการเคลื่อนที่แบบหมุนต่อไป


รูป 3.11 จุดกระทำของแรงที่ทำให้มีการหมุนและไม่หมุนรอบ  c.m

สำหรับความหมายของ จุดศูนย์กลางของความโน้มถ่วง (center of gravity, c.g.)หรือที่นิยมเรียกสั้นๆว่า จุดศูนย์ถ่วง นั้น จะเป็นจุดที่แรงลัพธ์ของแรงดึงดูดของโลกต่อส่วนต่างๆ ของวัตถุกระทำ ซึ่งในสถานการณ์ธรรมดาที่สนามโน้มถ่วงมีค่าสม่ำเสมอทั่วปริมาตรของวัตถุ จุดศูนย์กลางมวลกับศูนย์ถ่วงจะเป็นจุดเดียวกัน ในกรณีที่วัตถุมีขนาดใหญ่จนแต่ละส่วนของวัตถุนั้นอยู่ในสนามความโน้มถ่วงที่มีค่าต่างกัน เป็นไปได้ที่จุดศูนย์ถ่วงและจุดศูนย์กลางมวลจะอยู่คนละตำแหน่งกัน
สมมุติว่ามีมวล \displaystyle m_1 และ \displaystyle m_2 ยึดกันไว้ด้วยแท่งวัตถุที่เบามากดังรูป อยู่ในสนามโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ มีค่า g วิธีหนึ่งที่เราอาจจะหาตำแหน่งที่แรงลัพธ์ของแรงขนานซึ่งเป็นน้ำหนักของวัตถุทั้งสอง คือหาว่าตำแหน่งใดที่มีแรงๆ เดียว (R) กระทำแล้วจะทำให้วัตถุทั้งระบบอยู่ในสมดุลได้ซึ่งจะเรียนบทเกี่ยวกับสมดุลต่อไปว่า ต้องมีทั้งแรงลัพธ์เป็นศูนย์และโมเมนต์ของแรงรอบจุดใดๆ เป็นศูนย์จากรูป 3.12 จะเห็นว่า เมื่อโมเมนต์ของแรงรอบจุดศูนย์ถ่วง (c.g.)เท่ากับศูนย์โดยได้ว่า

\displaystyle m_1 gx_1 = m_2 gx_2

ซึ่งจะพบว่าเป็นเงื่อนไขเดียวกับที่จุดนั้นเป็นจุดศูนย์กลางมวล คือ

\displaystyle m_1 x_1 = m_2 x_2


รูป 3.12 แสดงตำแหน่งของ c.g.

เมื่อ \displaystyle x_1 และ \displaystyle x_2 เป็นระยะจาก c.m.
ในกรณีที่ระบบมวลทั้งสองนั้นอยู่ในสนามที่ไม่สม่ำเสมอ เช่น \displaystyle m_1 อยู่ในสนาม \displaystyle g_1 และ \displaystyle m_2 อยู่ในสนามที่มีค่า \displaystyle g_2 ค่า \displaystyle g_1 มากกว่า \displaystyle g_2และจุด c.g. จะอยู่ ณ จุดที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง
\displaystyle m_1 g_1 x_1 = m_2 g_2 x_2


รูป 3.13 แสดงตำแหน่งของ c.g. และ c.m. 

ดังนั้น c.g. จะเลื่อนมาทางมวล \displaystyle m_1 ในขณะที่ c.m. ของระบบมวลอยู่ที่เดิม c.g. จึงอยู่คนละตำแหน่งกับ c.m. กรณีเช่นนี้อาจเกิดขึ้น เช่น ดาวเทียมห้อยวัตถุมีมวลด้วยสายที่ยาวมาก ทำให้วัตถุอยู่ในตำแหน่งที่มีค่าสนามโน้มถ่วงสูงกว่า และเป็นผลให้ระบบมี c.g. อยู่ต่ำกว่า c.m.

แรงเสียดทาน
ทุกคนคงเคยรู้สึกว่า เมื่อเดินบนถนนที่มีโคลนเปียกจะแตกต่างจากการเดินบนผิวถนนเดียวกันที่แห้ง คือการเดินบนผิวถนนที่มีโคลนเปียกจะลื่น เดินได้ยากกว่า เนื่องจากแรงที่เกิดขึ้นจาการสัมผัสระหว่างผิวถนนกับพื้นรองเท้ามีได้น้อยกว่า แรงที่เกิดขึ้นจากการสัมผัสกันระหว่างผิวสัตถุสองผิว เช่น ผวถนนกับพื้นรองเท้า เรียกว่า แรงเสียดทาน (frictional force)
การดำเนินชีวิตประจำวันจะมีแรงเสียดทานเข้ามาเกี่ยวข้องตลอดเวลา ไม่ว่าจะเป็นการเดินที่ต้องอาศัยแรงเสียดทานของผิวถนนกับพื้นรองเท้า การเคลื่อนที่ของรถต้องอาศัยแรงเสียดทานของผิวถนนกับยางรถ เป็นต้น เราสามารถจะศึกษาแรงเสียดทานลักษณะต่างๆ ได้จากการทดลองโดยการดึงหรือลากวัตถุบนพื้นผิวต่างๆ ดังรูป 3.14 และรายละเอียดของการทดลองที่จะแนะนำในตอนท้ายบท


รูป 3.14 การออกแรงดึงแผ่นไม้

จากการทดลองตอนแรกสรุปได้ว่าเมื่อแผ่นไม้อยู่นิ่งขนาดของแรงเสียดทานจะมีค่า เท่ากับขนาดของแรงดึงแผ่นไม้แต่มีทิศตรงกันข้าม เพราะแรงลัพธ์ที่กระทำต่อแผ่นไม้เป็นศูนย์ ซึ่งเป็นไปตามกฎการเคลื่อนที่ข้อ 1 ของนิวตัน และขนาดของแรงเสียดทานเพิ่มตามขนาดของแรงดึงที่เพิ่มขึ้นจนมีค่ามากในที่สุด เรียกแรงเสียดทานนี้ว่า แรงเสียดทานสถิต (Static friction) หลังจากเริ่มเคลื่อนที่แล้ว ปกติจะใช้แรงที่น้อยลงในการทำให้แผ่นไม้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว การที่แผ่นไม้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวบนพื้นราบแสดงว่า แรงลัพธ์ในแนวราบมีค่าเป็นศูนย์ตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน แสดงว่าแรงเสียดทานขณะนั้นมีค่าเท่ากับแรงที่ดึงแต่มีทิศตรงกันข้าม แรงเสียดทานขณะที่ไม้มีการเคลื่อนที่จะเรียกว่า แรงเสียดทานจลน์ (kinetic friction)  จากการทดลองจะพบว่าแรงเสียดทานจลน์เป็นปฏิภาคกับแรงที่พื้นกระทำต่อวัตถุในแนวตั้งฉากกับพื้น  (ซึ่งมีขนาดเท่ากับแรงกดพื้นในแนวตั้งฉากกับผิวสัมผัส อาจจะนับว่าเป็นแรงกดสำหรับผิว ) เมื่ออยู่บนพื้นราบแรงนี้จะมีขนาดเท่ากับน้ำหนักของวัตถุ ความเป็นปฏิภาคนี้สามารถเขียนเป็นสมการความสัมพันธ์ระหว่างแรงเสียดทานและแรงกดระหว่างผิวในแนวตั้งฉากกับผิวได้ว่า

\displaystyle f_k = \mu _k N                         (3.17)

ในเมื่อ \displaystyle f_k เป็นแรงเสียดทายจลน์ N เป็นรงกดระหว่างผิว ในแนวตั้งฉากกับผิวหรือแรงที่ผิวกระทำกับวัตถุในแนวตั้งฉากซึ่งมีค่าเท่ากัน \displaystyle \mu _kเป็นค่าคงตัวของการเป็นปฏิภาคเรียกว่า สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ (Coefficient of kinetic friction) จากการทดลองพบว่า \displaystyle \mu _k ขึ้นกับชนิดของผิวสัมผัสแต่ละคู่
ค่าของแรงที่มากที่สุดที่เริ่มทำให้วัตถุเคลื่อนที่ได้เรียก แรงเสียดทานสถิตสูงสุด ให้เป็น \displaystyle f_s และจะสัมพันธ์กับแรงที่กระทำต่อวัตถุในแนวตั้งฉากกับผิว N ในทำนองเดียวกันกับสมการ (3.17) คือ
\displaystyle f_k = \mu _k N                   (3.18)
เมื่อ\displaystyle f_s เป็นแรงเสียดทานสถิต \displaystyle \mu _s เป็นค่าคงตัวของการแปรผันที่เรียกว่า สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิต (coefficient of static friction)
\displaystyle \muเป็นอักษรกรีกเรียกว่า มิว \displaystyle \mu _k  และ \displaystyle \mu _s ในสมการ (3.17) และ (3.18) จึงอ่านว่ามิวเค และมิวเอสตามลำดับ
สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิต \displaystyle \mu _s และสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ \displaystyle \mu _k ที่หาได้จากการทดลองมีค่าขึ้นอยู่กับชนิดของผิวสัมผัสดังตาราง 3.1 ซึ่งพบว่า สำหรับผิวสัมผัสคู่หนึ่งสัมประสิทธิ์เสียดทานสถิต\displaystyle \mu _s มีค่ามากกว่าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ \displaystyle \mu _k เสมอ
ตาราง 3.1 สัมประสิทธิ์เสียดทานสถิต (\displaystyle \mu _s)มีค่ามากกว่าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ (\displaystyle \mu _k)

ผิวสัมผัส \displaystyle \mu _s \displaystyle \mu _k
ไม้กับไม้
เหล็กกล้ากับเหล็กกล้า
อะลูมิเนียมกับเหล็กกล้า
ทองแดงกับเหล็กกล้า
ทองเหลืองกับเหล็กกล้า
แก้วกับแก้ว
ทองแดงกับแก้ว
ยางกับคอนกรีต (แห้ง)
ยางกับคอนกรีต (เปียก)
ล้อยางกับถนน (แห้ง)
ล้อยางกับถนน (เปียก)
0.70
0.74
0.61
0.53
0.51
0.94
0.68
1.0
0.30
0.90
0.70
0.40
0.57
0.47
0.36
0.44
0.40
0.53
0.80
0.25
0.65
0.55

การลดแรงเสียดทานระหว่างผิวสัมผัส สามารถทำได้โดยการใช้น้ำมันหรือสารล่อลื่นแทรกระหว่างผิวสัมผัส เช่น การล่อลื่นในเครื่องยนต์กลไกต่างๆ สำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนตลับลูกปืนมีบทบาทสำคัญในการลดแรงเสียดทาน โดยการใส่ลูกปืนกลมเล็กๆ ระหว่างผิวนอกและผิวในในตลับลูกปืน ทำให้ตลับลูกปืนชั้นนอกเคลื่อนที่ได้ดคล่องโดยชั้นในไม่ได้เคลื่อนที่นั่นคือการลดแรงเสียดทานในการหมุน ในทางอุตสาหกรรมได้มีการผลิตตลับลูกปืน เพื่อใช้ในงานต่างๆ เช่น การเคลื่อนย้ายสิ่งของ  ล้อรถเลื่อน รถยนต์ ฯลฯ หรือแม้แต่พัดลมไฟฟ้า ก็มีตลับลูกปืนติดอยู่ เพื่อลดแรงเสียดทานเนื่องจากการหมุนของใบพัด

แรงเสียดทานนั้นเป็นแรงที่เกียวข้องกับชีวิตประจำวัน แม้ว่าบางครั้งเราพยายามลดแรงเสียดทานลงเพื่อนลดความสูญเสียเนื่องจากการเสียดสี เช่น ตามจุดหมุนของเครื่องยนต์ เครื่องกล เครื่องไฟฟ้า ฯลฯ แต่ในบางโอกาสเรากลับต้องการแรงเสียดทานที่มีค่ามากเช่น พื้นรองเท้า ยางรถยนต์ แผ่นเบรก แผ่นคลัช ฯลฯ การเลือกที่จะลดหรือเพิ่มค่าแรงเสียดทานจึงขึ้นกับงานที่เราต้องการ

แรงเสียดทานสถิตและแรงเสียดทานจลน์เป็นแรงเสียดทานที่เกิดขึ้นระหว่างผิววัตถุที่สัมผัสกัน เช่น ผิวแผ่นไม้กับผิวพื้นโต๊ะ ผิวถนนกับผิวพื้นรองเท้า ขนาดของแรงเสียดทานขึ้นกับลักษณะและชนิดของผิวสัมผัส เช่น ถ้าผิวที่สัมผัสกันเป็นผิวหยาบหรือขรุขระ แรงเสียดทานมักจะมีค่ามาก แต่ถ้ามีผิวเกลี้ยงหรือลื่น แรงเสียดทานมักจะมีค่าน้อย ยกเว้นกรณีนำแผ่นกระจกเรียบสองแผ่นประกบกันสนิท แรงเสียดทานจะมีค่าสูงดังตัวเลขในตาราง 3.1

การนำกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันไปใช้

กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันทั้งสามข้อเป็นความรู้พื้นฐานที่สำคัญมากในวิชาฟิสิกส์ ซึ่งสามารถทำให้เข้าใจหรือใช้อธิบายสาเหตุของการเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่ของวัตถุทุกชนิดและทุกกรณี ทั้งการเคลื่อนที่บนโลก นอกโลก และในเอกภพ และยังสามารถอธิบายเรื่องสมดุลและการเคลื่อนที่ของวัตถุต่างๆ ได้ทุกลักษณะ และยังเป็นพื้นฐานสำหรับนำไปใช้ศึกษาเรื่องอื่นๆ เช่น งาน พลังงาน โมมเนตัม เป็นต้น ซึ่งเราจะได้ศึกษาในบทต่อๆไป

ตัวอย่าง 3.1 แท่งทองเหลืองวางบนแท่งเหล็กที่ทำเป็นพ้นเอียง สัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างสองผิวคู่นี้มีค่า \displaystyle \mu _s = 0.50 และ \displaystyle \mu _k  = 0.44 จงหาค่ามุม \displaystyle \thetaที่พื้นเอียงทำกับแนวระดับที่ทำให้แท่งทองเหลืองเริ่มเคลื่อนที่ หลังจากเริ่มเคลื่อนที่แล้วแท่งทองเหลืองจะมีความเร่งเท่าใด ถ้าค่ามุมไม่เปลี่ยนแปลง

วิธีทำ   แผ่นภาพของแรงที่กระทำต่อแท่งทองเหลือง บนพื้นเอียงทำมุม \displaystyle \thetaกับแนวระดับเป็นดังรูป
ให้ W = mg เป็นน้ำหนักของแท่งทองเหลือง
f เป็นแรงเสียดทานที่เกิดขึ้น
N เป็นแรงตั้งฉากกับพื้นเอียงที่กระทำต่อวัตถุ
W f  และ N เป็นแรงสามแรงที่กระทำต่อแท่ง
ทองเหลืองมีทิศดังแสดงในรูป เพื่อความสะดวกในการคิด แทนแรง  W ด้วยแรงองค์ประกอบ \displaystyle W\sin \theta
และ \displaystyle W\cos \thetaดังรูป
ซึ่งก่อนแท่งทองเหลืองเคลื่อนที่ จะมีแรงลัพธ์เป็นศูนย์ หมายถึง

\displaystyle f = W\sin \thetaและ \displaystyle N = W\cos \theta
วัตถุจะเริ่มเคลื่อนที่เมื่อ f/N = \displaystyle \mu _s = 0.50 ( f อาจมีค่าน้อยกว่า \displaystyle \mu _s N เมื่อวัตถุอยู่นิ่ง)

นั่นคือ \displaystyle \frac{{W\sin \theta }}{{W\cos \theta }} = \tan \theta&nbsp; = 0.50

หรือ    \displaystyle \theta = \tan ^{ - 1} (0.50) = 26.57^\circ

หลังจากแท่งทองเหลืองเคลื่อนที่แล้ว แรงต้านการเคลื่อนที่จะเปลี่ยนไป\displaystyle f_k = \mu _k Nซึ่งมีค่าน้อยลง จะเกิดแรงลัพธ์ในทิศ
ลงตามพื้นเอียงเท่ากับ \displaystyle (W\sin \theta&nbsp; - f_k )ดังนั้นจึงจะมีความเร่ง ซึ่งหาได้จากสมการของแรง (กฎข้อที่สองของ
นิวตัน)
\displaystyle ma = (W\sin \theta - f_k ) = (mg\sin \theta - \mu _k mg\cos \theta ) = (\mu _s ,mg\cos \theta - \mu _k mg\cos \theta )
นั่นคือ \displaystyle a = (\mu _s - \mu _k )g\cos \theta
หรือ      a   = (0.50 – 0.44 )g \displaystyle \cos 26.57^\circ

= (0.50- 0.44)g x 0.89 = 0.053 g

= 0.53 \displaystyle m/s^2  เมื่อใช้ g = 10 \displaystyle m/s^2

คำตอบ มุมที่พื้นเอียงทำกับแนวระดับที่แท่งทองเหลืองเริ่มเคลื่อนที่คือ \displaystyle 26.57^\circ (\tan ^{ - 1} 0.50) หลังจากเริ่มเคลื่อนที่จะมีความ
เร่ง\displaystyle 0.53m/s^2

ตัวอย่าง 3.2 ถ้าแรงที่ช้างดึงซุงเท่ากัแรงที่ซุงดึงช้างตามกฎข้อที่สามของนิวตัน ช้างลากซุงให้เคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วคงตัวได้อย่างไร


วิธีทำ   ถ้าพิจารณาแรงที่กระทำต่อท่อนซุง จะพบว่ามีแรงดึงจากช้าง (ผ่านเชือก)  F (สมมุติอยู่ในแนวระดับ) น้ำหนักของซุง W แรง
ที่พื้นกระทำต่อซุงในแนวตั้งฉาก N และแรงเสียดทาน f  ของพื้นดังรูป

เมื่อแรงทั้งหมดรวมกันเป็นศูนย์ โดยซุงเคลื่อนที่ ด้วความเร็วคงตัวหนึ่ง ซึ่งหมายถึง
     \displaystyle F = f = \mu _k N และ N = W

ส่วนแรงที่กระทำกับช้าง ซึ่งเคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วเดียวกับซุง จะมีแรงที่ซุงดึงช้าง (ผ่านเชือก) น้ำหนักของช้าง แรงยก
ของพื้นแรงเสียดทานของพื้น (ปฏิกิริยาของแรงที่เท้าช้างดังพื้น) แรงทั้งหมดรวมเป็นศูนย์ได้เช่นกัน  และช้างสามารถ
เคลื่อนที่ได้ด้วยความเร็วคงตัว เท้าช้างดันพื้นอาศัยแรงเสียดทานสถิต ค่าแรงจะต้องน้อยกว่า \displaystyle \mu _k N ที่เท้าช้าง เท้าช้าง
จึงจะไม่ไถลและช้างสามารถลากซุงด้วยความเร่งก็ได้โดยที่แรงที่ช้างดึงซุงเท่ากับแรงที่ซุงดึงช้าง แต่แรงที่ช้างดัน
พื้นมากกว่าแรงเสียดทานของพื้นต่อซุง ทำให้ F > f (ที่ซุง) ทั้งนี้ประมาณว่าแรงที่ช้างดึงซุงอยู่ในแนวระดับ (ถึงแม้
ไม่อยู่ในแนวระดับก็อาจคิดได้คล้ายกัน)

ตัวอย่าง 3.3 รถยนต์มีเครื่องยนต์ที่มีกำลังสามารถหมุนล้อให้รถเคลื่อนที่ไปข้างหน้าได้ ถ้ากำหนดให้ว่ากำลังของรถ คือ P = Fv มีค่าคงตัว และเมื่อรถวิ่งในอากาศจะมีแรงต้านของอากาศเท่ากับ \displaystyle kv^2 (แรงต้านเป็นปฏิภาคกับ\displaystyle v^2 ) เมื่อ v เป็นอัตราเร็วที่รถวิ่งกฏของนิวตันทำนายว่ารถจะวิ่งบนพื้นราบด้วยความเร็วจำกัดหรือความเร็วสุดท้าย (ไม่สามารถจะวิ่งเกินความเร็วค่าหนึ่งได้ ) จงแสดงความเร็วสุดท้ายนี้จะมีค่าเท่าใด

วิธีทำ          สมมุติว่ารถกำลังวิ่งด้วยอัตราเร็ว v พิจารณาว่าขณะนั้นมีแรงกระทำต่อรถอย่างไร ขณะนั้นรถมีแรงขับเคลื่อน (จากล้อ )
เป็น F และมีแรงต้านของอากาศเท่ากับ\displaystyle kv^2แรงในแนวดิ่งจะหักล้างกันหมดไป
ดังนั้น แรงลัพธ์ที่ทำให้เกิดความเร่งได้ขณะนั้นคือ \displaystyle F - kv^2 มีค่าเท่ากับ ma

เมื่อค่า v เพิ่มขึ้นๆ ค่า \displaystyle F - kv^2 ลดลงจนทำให้ความเร่งลดลงเป็ฯศูนย์ได้
นั้นคือเมื่อ\displaystyle F - kv^2 = 0ความเร็วจะมีค่าคงตัว นับเป็นความเร็วสุดท้ายที่รถจะวิ่งเร็วที่สุดได้ และสามารถ
หาความเร็วสุดท้ายได้จากกำลัง P = Fv ที่กำหนดให้คือ
\displaystyle v(F - kv^2 ) = Fv - kv^3 = 0
หรือ  \displaystyle v^2  = P/k
ความเร็วสุดท้าย \displaystyle \left( {\frac{P}{k}} \right)^{{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/{\vphantom {1 3}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$3$}}}
คำตอบ        ความเร็วสุดท้ายมีค่าเท่ากับ \displaystyle \left( {\frac{P}{k}} \right)^{{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/{\vphantom {1 3}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$3$}}}

การทดลองและกิจกรรม
         การทดลอง 3.1 ความสัมพันธ์ระหว่างแรงกับความเร่ง
         จุดประสงค์ เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างแรงที่กระทำต่อวัตถุกับความเร่งของวัตถุที่เกิดากแรงนั้น เมื่อมวลของวัตถุที่พิจารณามีค่าคงตัว
         วิธีทดลอ
        ตอนที่ 1 การชดเชยแรงเสียดทาน
         การติดตั้งอุปกรณ์ วางรางไม้บนโต๊ะ นำแขนรางไม้ที่มีรอกติดอยู่มาประกอบกับรางไม้ จัดปลายไม้ด้านที่มีรอกให้ยื่นพ้นขอบโต๊ะเล็กน้อย นำรถ         ทดลองวางบนร่างไม้ ติดปลายข้างหนึ่งของหนึ่งของแถบกระดาษกับท้ายของรถทดลอง นำปลายอีกข้างหนึ่งของแถบกระดาษสอดผ่าน เครื่องเคาะสัญญาณเวลา ซึ่งต่ออยู่กับหม้อแปลงโวลต์ต่ำ (ใช้คววามต่างศักย์ 4-6 โวลต์ หรือตามคำแนะนำของเครื่องเคาะสัญญาณเวลา) ผูกสายไนลอนกับแกนเหล็กที่อยู่ด้านหน้ารถทดลอง แล้วคล้องสายไนลอนผ่านรอกให้ห้อยลงในแนวดิ่ง ผูกข้อเกี่ยวโลหะที่ปลายสายไนลอน จัดให้แถวแถบกระดาษ ตัวรถ และสายไนลอน ให้อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันดังรูป 3.15 ลองผลักรถทดลองเบาๆ ในทิศเข้าหารอก ถ้ารถเคลื่อนที่ได้ในระยะใกล้ๆ แล้วหยุดเคลื่อนที่ ให้หมุนปลายรางด้านที่อยู่ตรงข้ามกับที่ติดรอกให้สูงขึ้นเล็กน้อย แล้วลองผลักรถทดลองใหม่จะหยุดปรับปลายรางให้สูงขึ้น เมื่อรางอยู่ในตำแหน่งที่เมื่อผลักรถทดลองเบาๆ แล้วรถทดลองแล่นตามรางด้วยความเร็วคงตัว ซึ่งสามารถตรวจสอบได้จากระยะห่างที่เท่ากันของแต่ละช่วงจุดบนแถบกระดาษที่สอดผ่านเครื่องเคาะสัญญาณเวลา


รูป 3.15 การจัดอุปกรณ์และการหมุนรางไม้เพื่อเตรียมการทดลอง

–     ก่อนหมุนปลายรางไม้ข้างหนึ่งให้สูงขึ้น เมื่อผลักรถทดลองเบาๆ เหตุใดรถทดลองเคลื่อนที่ไปแล้วหยุด
–      นักเรียนทราบได้อย่างไรว่า รถทดลองแล่นด้วยความเร็วคงตัว และขณะที่รถทดลองแล่นด้วยความเร็วคงตัว แรงลัพธ์ที่กระทำต่อรถทดลองเป็นเท่าใด
ตอนที่ 2  ทดลองหาความสัมพันธ์ระหว่างขนาดความเร่งกับขนาดของแรงดึง เมื่อมวลของวัตถุมีค่าคงตัว
ใช้ชุดการทดลองที่เตรียมไว้จากตอนที่ 1 นำนอต 1 ตัว คล้องกับข้อเกี่ยวโลหะจับรถทดลองไว้ จัดแถบกระดาษให้เรียบร้อย (เช่นเดียวกับตอนที่ 1 ) ให้กระแสไฟฟ้าผ่านเครื่อง เคาะสัญญาณพร้อมกับปล่อยรถทดลองให้เคลื่อนที่ นำแถบกระดาษที่ได้มาเขียนข้อความไว้ที่ด้านหลังว่า  นอต 1 ตัวเปลี่ยนแถบกระด่ษใหม่ แล้วทำการทดลองทำซ้ำเหมือนเดิม แต่เพิ่มจำนวนนอตเป็น 2,3,4 และ 5 ตัวตามลำดับ เขียนข้อความไว้ด้านหลังกระดาษทุกครั้งว่า นอต 2  ตัว นอต3 ตัว นอต 4 ตัว และนอต 5ตัว ตามลำดับ นอตที่นำมาแขวนกับขอเกี่ยวโลหะ จะทำให้เกิดแรงดึงให้รถเคลื่อนที่ ถ้าให้นอตหนึ่งตัวดึงรถด้วยแรงขนาด 1F ดังนั้นเมื่อใช้นอต 2,3,4 และ 5 ตัว จะมีแรงดึงรถด้วยขนาด 2F ,3F,4F และ 5F ตามลำดับ วิเคราะห์หาความเร่งของรถจากจุดบนแถบกระดาษแต่ละแถบ โดยวิธีเดียวกับการหาความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงในการทดลอง 1.1 บันทึกขนาดความเร่งของรถทดลอง เมื่อใช้แรงขนาดต่างๆ ดึงรถทดลอง แล้วเขียนกราฟระหว่างแรงที่ดึงรถทดลอง F กัลขนาดความเร่ง a ของรถทดลองโดยให้ F อยู่บนแกนนอน และ a อยู่บนแกนยืน
–     เมื่อใส่นอตลงในขอเกี่ยวโลหะ ขณะรถทดลองเคลื่อนที่ มีแรงลัพธ์กระทำต่อรถทดลอง หรือไม่
–     กราฟระหว่างขนาดความเร่ง a กับขนาดของแรง F มีลักษณะอย่างไร
–     จากลักษณะของกราฟขนาดความเร่ง a กับขนาดของแรง F มีความสัมพันธ์กันอย่างไร
         การทดลอง 3.2 แรงเสียดทาน
         จุดประสงค์         1. เพื่อศึกษาขนาดและทิศของแรงเสียดทาน
                2. เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างแรงดึงและน้ำหนักของวัตถุ


รูป 3.16 การออกแรงดึงแผ่นไม้

         วิธีทดลอง
         ตอนที่ 1 แรงเสียดทานสถิตและแรงเสียดทานจลน์
ใช้เครื่องชั่งสปริงเกี่ยวกับขอเกี่ยวของแผ่นไม้ ซึ่งวางอยู่บนรางไม้ และใช้ถุงทราย 1 ถุง วางทับแผ่นไม้ดังรูป 3.16 เริ่มต้นออกแรงน้อย ๆ แล้วค่อยๆ เพิ่มแรงดึง สังเกตแรงที่อ่านได้ก่อนที่แผ่นไม้จะเริ่มเคลื่อนที่ บันทึกแรงดึงที่ทำให้แผ่นไม้เริ่มแคลื่อนที่ และแรงที่ทำให้แผ่นไม้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว  อย่างละประมาณ 5-7 ค่า แล้วหาค่าเฉลี่ยในสองกรณี
         –  ขณะออกแรงดึงแผ่นไม้ มีแรงเสียดทานกระทำต่อแผ่นไม้หรือไม่
         – เมื่ออกแรงดึงแผ่นไม้แต่ละกรณี แรงลัพธที่กระทำต่อแผ่นไม้มีค่าเท่าใดอธิบาย
         – เมื่อออกแรงดึงแผ่นไม้แต่ละกรณี แรงเสียดทานมีขนาดเท่าใด และมีทิศเท่าใด
         – แรงเสียดทานในกรณีใดมีค่ามากกว่า
         ตอนที่ 2  ความสัมพันธ์ระหว่างแรงเสียดทานสถิตและแรงกดในแนวตั้งฉาก
จัดรางไม้ให้พื้นรางอยู่ในแนวระดับ ใช้เครื่องชั่งสปริงเกี่ยวขอเกี่ยวของแผ่นไม้ที่มีถุงทรายวางทับอยู่ 1 ถุง ออกแรงดึงเครื่องชั่งสปริงให้ทิศของแรงดึงอยู่ในทิศของแนวระดับ เพิ่มแรงจนทำให้แผ่นไม้และถุงทรายเริ่มจะเคลื่อนที่ บันทึกค่าแรงดึงนี้ ทำการทดลองซ้ำโดยเพิ่มถุงทรายวางทับแผ่นไม้เป็น 2,3 และ 4 ถุง เขียนกราฟเพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของแรงดึงที่ทำให้เริ่มเคลื่อนที่ (F) กับน้ำหนักของถุงทรายรวมกับขนาดของน้ำหนักแผ่นไม้(W) หาความชันของเส้นกราฟ ค่าความชันคือค่าอะไร
         ตอนที่ 3 ความสัมพันธ์ระหว่างแรงเสียดทานจลน์และน้ำหนักของวัตถุ
ทำการทดลองเช่นเดียวกับตอนที่ 1 แต่ออกแรงดึงเครื่องชั่งสปริงเพื่อดึงแผ่นไม้ที่มีถุงทรายวางทับให้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว บันทึกขนาดของแรงดึง (F) และขนาดของน้ำหนักถุงทรายรวมกับน้ำหนักแผ่นไม้(W) เขียนกราฟระหว่าง F กับ W หาความชันของเส้นกราฟ ความชันกรณีนี้คือค่าอะไร
         – กราฟที่ได้จากการทดลองทั้งสองตอนมีลักษณะอย่างไร
         – จากกราฟ สรุปความสัมพันธ์ระหว่างแรงดึงกับน้ำหนักได้อย่างไร
         – ความชันของเส้นกราฟจากการทดลองทั้งสองตอนเท่ากันหรือไม่ ถ้าไม่เท่ากันกราฟใดมีความชันมากกว่า

การทดลอง 3.3 สัมประสิทธิ์ความเสียดทาน (โดยพื้นเอียง)
จุดประสงค์ หาค่าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานโดยใช้พื้นเอียง
วิธีทดลอง
วางวัตถุหนัก \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} บนรางไม้ดังรูป 3.17 แล้วค่อยๆ ยกปลายข้างหนึ่งให้สูงขึ้นจากเดิมจนทำให้วัตถุเริ่มลื่นไถลลงตามรางไม้ อ่านมุมที่รางไม้กระทำกับแนวระดับขณะนั้นได้ \displaystyle \theta _sถ้าเขียนแผนภาพแสดงแรงกระทำต่อวัตถุขณะนั้นซึ่งได้แก่
แรงเสียดทาน \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} _s
แรงที่พื้นกระทำต่อวัตถุในแนวตั้งฉากกับพื้น \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N}
และน้ำหนักวัตถุ\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W}
พิจารณาได้ว่าน้ำหนัก \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} ทำมุม \displaystyle \thetaกับแนวตั้งฉากกับพื้นเอียง เมื่อใช้วิธีแยกแรงจะได้แรงองค์ประกอบของน้ำหนัก \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W}ในแนวตั้งฉากกับพื้นเอียงและขนานกับพื้นเอียง ดังรูป 3.17


รูป 3.17 วัตถุวางบนพื้นเอียง

                         โดยใช้หลักของแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์จุดสุดท้ายก่อนเคลื่อนที่ที่จะเขียนได้ว่า
         f_s  = W\sin \theta _s …………. (1)
         \displaystyle N = W\cos \theta _s ………….(2)
         หาสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน ได้เป็น
         \displaystyle \mu _s = \frac{{W\sin \theta _s }}{{W\cos \theta _s }}
         \displaystyle \mu _s = \tan \theta _s

วางวัตถุบนรางไม้ แล้วเคาะที่รางไม้ด้านหน้าวัตถุ จากนั้นค่อยๆ ยกปลายรางไม้ข้างหนึ่งจนกระทั่งหลังการกระตุ้นให้วัตถุเคลื่อนที่ วัตถุสามารถเคลื่อนที่ลงมาตามรางไม้ด้วยความเร็วคงตัว มุมที่รางไม้กระทำกับแนวระดับจะมีค่าน้อยกว่าหรือมากกว่าเดิม
มุม \displaystyle \theta _kจะมีค่าน้อยกว่า \displaystyle \theta _s จากหลักการสมดุลจะหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ได้จาก
\displaystyle \mu _k = \tan \theta _k

         กิจกรรม 3.1 การหามวลจากการเคลื่อนที่
มวลเป็นปริมาณที่เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ มวลสัมพันธ์กับแรงและความเร่งโดยกฎข้อที่สองของนิวตัน มวลของอนุภาคเช่น มวลของอิเล็กตรอนและโปรตอน สามารถหาได้จากการเคลื่อนที่ในสนามแม่เหล็ก ส่วนมวลทั่วไปมักจะใช้วิธีชั่งน้ำหนักซึ่งสะดวก แต่มวลอาจจะหาได้จากความรู้สึกของแรงที่มือ โดยไม่ต้องใช้วิธีชั่งน้ำหนัก เช่น เมื่อแขวนวัตถุที่มีมวลต่างๆกันไว้ด้วยเชือกแรงดึงของเชือกจะรับแรงดึงของน้ำหนักไว้ ถ้าเราจับวัตถุขยับไปมาในแนวราบในลักษณะเดียวกัน เปรียบเทียบแรงที่กระทำกับมือ เราจะรู้สึกได้ว่ามวลไหนมากกว่า ข้อนี้เป็นไปตามกฎของนิวตันอย่างไร
การเปรียบเทียบมวลอาจทำได้ด้วยเครื่องมือซึ่งอาจเรียกว่าเครื่องชั่งความเฉื่อย (inertial balance)ประกอบด้วยสปริงยึดที่แกว่งได้ในแนวราบ ดังรูป 3.18 เมื่อยึดมวลต่างๆ กันที่ปลายสปริง คาบการแกว่งจะต่างกัน สามารถเปรียบเทียบได้ว่ามวลของวัตถุหนึ่งจะเทียบเท่ามวลของนอตกี่ตัว โดยเขียนกราฟระหว่างจำนวนนอตและคาบประกอบ


รูป 3.18 เครื่องชั่งความเฉื่อย

                – จงอธิบายว่าเครื่องชั่งความเฉื่อยเปรียบเทียบมวได้อย่างไร
         กิจกรรม 3.2 ปัญหาการกระตุกเชือก
ใช้มวลประมาณ 1 กิโลกรัม ผูกกับด้ายเส้นเล็กๆ แขวนมวลไว้และผูกด้ายอีกเส้นหนึ่งห้อยไว้ที่ด้านล่างมวล ดังรูป 3.19 (โปรดทำดูด้วยตนเอง) เมื่อค่อยๆดึงด้ายที่ห้อยให้แรงขึ้นทีละน้อยด้ายเส้นบนจะขาด แต่ถ้าจับด้ายเส้นล่างให้มั่น แล้วกระตุกทันที ด้ายเส้นล่างจะขาด จริงหรือไม่ จงอธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นด้วยกฎของนิวตัน


รูป 3.19