การเคลื่อนที่แนวตรง

ตำแหน่งและการกระจัด
ตำแหน่ง (position) ก็คือการแสดงออก หรือการบอกให้ทราบว่า วัตถุหรือสิ่งของที่พิจารณาอยู่ที่ใด เราจะคิดถึงวัตถุที่มีขนาดเล็กก่อน ซึ่งจะสามารถบอกได้ชัดเจนว่ามีตำแหน่งอยู่ที่ใด โดยเฉเพาะบนเส้นตรงเส้นหนึ่งเมื่อเทียบกับจุดอ้างอิง จุดอ้างอิงเป็นปัจจัยจำเป็นเพื่อความชัดเจน อาจจะเป็นจุดศูนย์ของโคออติเตในพิกัด xy เนื่องจากเราจะพิจารณากรณีหนึ่งมิติก่อน เราจะใช้เฉเพาะแกน x และอาจบอกว่าวัตถุของเราอยู่ที่ตำแหน่ง \displaystyle x = x_1  ที่เวลา \ t_1  อันหมายถึงวัตถุที่ระยะทาง \x_1 จากจุด O (จุดอ้างอิง) ที่เวลาดังกล่าว ถ้าวัตถุเลื่อนไปอยู่ที่ \x_2 ที่เวลา \t_2 แสดงว่า วัตถุได้มีการเคลื่อนที่ไประหว่างเวลา \t_1 และ \t_2 ตำแหน่งของทั้งสองของวัตถุอาจแสดงดังรูป 2.1


<b>รูป 2.1 การแสดงตำแหน่งและการกระจัดของวัตถุบนแกน x</b>

การเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุจาก\displaystyle x = x_1  ไปเป็น \x = x_2   หรือ \(x_{2 - } x_1 )  เรียกในภาษาวิชาฟิสิกส์ว่า การกระจัด (displacement) การกระจัดมีทิศในที่นี้มีทิศจาก  \ x_1 ไป  \ x_2  ดังรูป 3.2 โดยทั่วไปการกระจัดหมายถึงการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุไปจากตำแหน่งปกติ (สมดุล)

ความเร็วเฉลี่ยและอัตราเร็วเฉลี่ย
โดยนิยามหรือข้อกำหนด ความเร็ว (velocity) คือ การเปลี่ยนตำแหน่งต่อเวลา สำหรับช่วงเวลาที่ยาว ความที่คิดที่คิดจากการเปลี่ยนตำแหน่งในช่วงเวลานั้นหารด้วยช่วงเวลา ถือว่าเป็นความเร็วเฉลี่ย (average velocity) ความเร็วเฉลี่ยเป็นเสมือนความเร็วที่การเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาที่วัดมีค่าเดียวที่สม่ำเสมอ ความเร็วเฉลี่ยในทิศจาก  \x_1  ไป \x_2 คือ
v_{av}= \frac{{x_{2-}x_1 }}{{t_2- t_1 }} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}}     (2.1)
สำหรับคำว่า อัตราเร็ว (speed) ในวิชาฟิสิกส์มีความหมายที่แตกต่างจากความเร็ว คืออัตราเร็วจะคิดจากระยะทางของการเคลื่อนที่ทั้งหมดโดยไม่คำนึงถึงทิศ นั่นคือ ใช้อัตราเร็วในลักษณะที่เป็นปริมาณสเกลาร์ (scalar) ในขณะที่ใช้ ความเร็ว เป็นปริมาณเวกเตอร์ (vector)
อัตราเร็วเฉลี่ย (average speed) สำหรับการเคลื่อนที่จาก  \x_1 ไป \x_2 ดังรูป 2.1 จะมีขนาดเท่ากับ ระยะทางจาก  \ x_1 ไป  \x_2  หารด้วยเวลาซึ่งจะได้ผลเท่ากับขนาดของความเร็วเฉลี่ย แต่อัตราเร็วเฉลี่ยอาจจะแตกต่างไปจากของความเร็วเฉลี่ยได้ โดยเฉเพาะกรณีที่วัตถุเคลื่อนที่เลย \x_2ไปถึง  \x_3  แล้วย้อนกับมา  \x_2  ดังรูป 2.2 โดยใช้เวลาทั้งหมด(t_2-t_1)   เท่าเดิม ถ้าเป็นเช่นนั้น อัตราเร็วเฉลี่ย ซึ่งเป็นระยะทางทั้งหมดที่เคลื่อน (จาก  \x_1 ไป \x_3 และจาก  \x_3 กลับมา  \x_2 ) หารด้วยเวลาจะมีค่าเพิ่มขึ้นมาก และต่างจากขนาดของความเร็วอย่างเห็นได้ชัด

รูป 2.2 แสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุจาก \x_1  ไป ไป \x_3  และจาก ไป \x_3  กลับมา \x_2

นั่นคือ
 อัตราเร็วเฉลี่ย = ระยะทางที่เคลื่อนที่หารด้วยเวลา =  \displaystyle \frac{d}{t}    (2.2)
ซึ่งในที่นี้ d คือ( \(x_3-x_1)} \right|+\left|{(x_3-x_2)}\right| และ t คือ \displaystyle(t_2-t_1 ) โดยเครื่องหมายขีดสองข้างงของปริมาณจะหมายถึง ขนาดของปริมาณนั้นและมีค่าเป็นบวกเท่านั้น
ในภาษาที่ใช้กันทั่วไป ความเร็วและอัตราเร็ว อาจไม่ได้แตกต่างจากกันในลักษณะดังกล่าวและใช้สลับกันไปมา แต่ในวิชาฟิสิกส์ควรใช้ให้ถูกตามความหมายดังกล่าว เพื่อความชัดเจนและถูกต้องตามาตรฐานสากลของวิชาฟิสิกส์ซึ่งเป็นวิชาสากล
สมมติว่า โยนลูกบอลขึ้นในแนวดิ่ง ลูกบอลขึ้นไปได้สูง 5 เมตร แล้วตกกลับมายังมือในเวลา 2วินาที จากข้อความแสดงว่า อัตราเร็วเฉลี่ยในช่วง 2 วินาทีเท่ากับระยะทาง ( 5 เมตร + 5 เมตร ) หารด้วยเวลา 2 วินาที เท่ากับ 5 เมตรต่อวินาที แต่ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเดียวกันจะเป็นศูนย์เพราะลูกบอลได้กลับมาที่เดิมคือ มีการกระจัดทั้งหมดเป็นศูนย์

ความเร็วและอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง
                    ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous velocity) ก็คือความเร็วของวัตถุในช่วงเวลาที่สั้นมากขณะผ่านจุดจุดหนึ่งหรือที่เวลาใดเวลาหนึ่ง หรือพูดสั้นๆ เป็นความเร็วในช่วงเวลาที่สั้นมาก นั่นคือ
v_{{\mathop{\rm int}}}={}_{\Delta t \to 0}^{\lim } (\frac{{\Delta x}}{{\Delta t}})=\frac{{dx}}{{dt}}                       (2.3)
สัญลักษณ์ในสมการ (2.3) เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ ( แคลคูลัส (calulus) ) แสดงกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้หาค่า lim (limit) เมื่อทราบฟังก์ชันชัดเจนและค่า \displaystyle \frac{{dx}}{{dt}} หรือ (\displaystyle \frac{d}{{dt}}ของ x) เป็น การทำอนุพันธ์  (differntiation) ของ x เทียบกับเวลาซึ่งเป็นสัญลักษณ์แทน \displaystyle {}_{\Delta t \to 0}^{\lim } (\frac{{\Delta x}}{{\Delta t}}) นั่นเอง\displaystyle \frac{d}{{dt}} ถือเป็น ตัวดำเนินการ (operator) ตัวหนึ่ง ซึ่งจะกระทำอย่างกับสิ่งที่เขียนตามมา กรณีนี้ก็คือการทำอนุพันธ์นั่นเอง
ในเชิงปฏิบัติตามความเป็นจริงทางฟิสิกส์ กราฟตำแหน่งของวัตถุกับเวลาอาจเป็นดังรูป 2.3 ระหว่างจุด \displaystyle x_1  และ \displaystyle x_2  ที่เวลา \displaystyle t_1  และ \displaystyle t_2  ซึ่งจะเรียกว่าจุด P และจุด Q การเคลื่อนอาจเป็นไปตามเส้นโค้ง

รูป 2.3 ความเร็วเฉลี่ยและความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง
ถ้าตำแหน่งของวัตถุที่ผ่าน P และ Q เป็นเส้นโค้งดังรูป 2.3 ความชันของเส้นตรงที่ลากผ่าน PQ คือ \displaystyle \frac{{x_2- x_1 }}{{t_2- t_1 }} ก็คือความเร็วระหว่าง P และ Q ถ้าจุด P เลื่อนไปใกล้จุด Q มากขึ้นๆนั่นคือช่วง \displaystyle (t_2- t_1 )   จะสั้นลงจน P อยู่ใกล้ Q มาก เส้นตรง PQ ก็จะกลายเป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด Q นั่นเอง และจะมีระยะหนึ่งที่เมื่อ P เข้าใกล้ Q มากขึ้น ความชันก็ไม่เปลี่ยนแปลง ความชันนี้คือ ลิมิต (limit) หรือ “ขีดจำกัด” ของความชัน และถือได้ว่าค่าความเร็วของวัตถุที่ Q ซึ่งเป็นความเร็วขณะใดขณะหนึ่งที่เวลา \displaystyle t_2  หรือที่จุด Q

เพื่อให้เข้าใจความหมายดังกล่าวของค่าลิมิต เราสามารถสังเกตได้จากต่ออย่างต่อไปนี้ เช่น สมมุติว่า เราทราบว่ากราฟตำแหน่งกับเวลาเป็นไปตามสมการ \displaystyle x = 5t^2 ในหน่วยเมตรเมื่อ t เป็นวินาที เราสามารถรู้ค่าตำแหน่ง x ที่เวลาต่างๆ ได้จากการคำนวณสมการ

ให้ Q เป็นตำแหน่งที่ 2.00 วินาที ค่าของตำแหน่ง P ที่เวลาต่างๆใกล้ Q และค่าของความชันของเส้น PQ ดังตาราง ซึ่งจะเห็นลิมิตของความชันที่ Q เป็น 20.00 เมตรต่อวินาที

ตาราง 2.1 แสดงค่า x และ P และ Q ที่เวลาต่างๆ และค่าความชันของเส้น PQ

T (s) P (m) Q (m) ความชันของ PQ (m/s)
1.50 11.25 20.00 17.50
1.8 16.20 20.00 19.00
1.90 18.05 20.00 19.50
1.98 19.602 20.00 19.90
1.99 19.8005 20.00 19.95
1.995 19.9001 20.00 19.98
1.999 19.9800 20.00 20.00
1.9999 19.9980 20.00 20.00

ตาราง 2.1 แสดงว่าความชันไม่เปลี่ยนเมื่อ t เข้าใกล้ 2.00 วินาทีมาก
เมื่อช่วงเวลาสั้นมากวัตถุไม่มีเวลาที่จะกลับไปมา อัตราเร็วที่ขณะใดขณะหนึ่งก็คือขนาดของความเร็วที่ไม่ต้องคำนึงถึงทิศทางนั่นเอง

ความเร่ง
ความเร่ง (acceleration) หมายถึง การเปลี่ยนแปลงความเร็วเวลา นั่นคือ ถ้าที่เวลา \displaystyle t_2 วัตถุมีความเร็ว \displaystyle v_2  และที่เวลาก่อนนั้นคือ \displaystyle t_1  วัตถุมีความเร็ว \displaystyle v_1 ถือว่า ความเร่งเฉลี่ยในช่วงเวลา \displaystyle t_1  ถึงเวลา \displaystyle t_2  คือ

\displaystyle a_{av}= \frac{{v_{2-}v_1}}{{t_2- t_1 }}=\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}                                 (2.4)

ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous acceleration) โดยใช้สัญลักษณ์ คือ

  a_{av}=a= {}_{\Delta t \to 0}^{\lim } (\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}) = \frac{{dv}}{{dt}}                (2.5)

หากเขียนกราฟของความเร็วกับเวลา ความชันของเส้นสัมผัสที่จุดต่างๆก็คือความเร่งของวัตถุที่จุดนั้นๆ ในทำนองเดียวกันกับที่ความเร็วเป็นความชันของกราฟระหว่างตำแหน่งกับเวลา สำหรับคำว่า อัตราเร่ง ก็จะไม่คิดทิศทางในลักษณะเดียวกับอัตราเร็ว

การเคลื่อนที่กรณีความเร่งเป็นค่าคงตัว
กรณีที่ความเร่งมีค่าคงตัว (constant acceleration ) นั่นคือ ความเร็วมีการเปลี่ยนแปลงเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างสม่ำเสมอ กราฟของความเร็วที่เพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมออาจเป็นดังรูป 2.4 ซึ่งกราฟความเร็วกับเวลาเป็นกราฟเส้นตรง ความชันที่ทุกจุดบนเส้นตรงคือ ความชันของเส้นตรงนั่นเอง

รูป 2.4 กราฟความเร็วกับเวลา


ความชันของเส้นตรงคือ \frac{{v - v_0 }}{{t - 0}}ให้เท่ากับ a_0ซึ่งเป็นค่าคงตัว
ดังนั้น v - v_{0 = } a_0 t
หรือ \displaystyle v = v_0+ a_0 t
ความหมายในสมการนี้คือ v เป็นความเร็วที่เวลา t , v_0  เป็นความเร็วที่เวลา t = 0 หรือความเร็วต้น \displaystyle a_0  เป็นความเร่งค่าหนึ่ง และ  t เป็นเวลา ซึ่งจากสมการข้างต้น ก็จะเห็นได้ว่า ความเร็วมีค่าเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ สมการนี้จะใช้ได้ทั้งค่า t ที่เป็น + และ – (ค่า – t หมายถึงเวลาก่อนที่จะเริ่มนับว่าเป็นศูนย์ ) และยังใช้ได้ทั้งกรณีที่ \displaystyle a_0  เป็นบวกและลบ ( ถ้า \displaystyle a_0   มีค่าเป็นลบ หมายถึงความเร่งไปทางทิศ -X และมีผลให้ความเร็วลดลงๆ โดยที่ v อาจจะยังเป็นบวกอยู่ )

รูป 2.5 กราฟระหว่างความเร็วและเวลา สำหรับความเร่งคงตัว 
การหาระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ อาจจะหาได้โดยใช้กราฟดังรูป 2.5 ถ้าใช้ช่วงเวลา \displaystyle \Delta t เป็นช่วงเวลาสั้นๆ ขณะที่วัตถุมีความเร็ว v ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในช่วงเวลา \displaystyle \Delta t ก็คือ \displaystyle v\Delta t ซึ่งช่วงเวลาสั้นๆ v เปลี่ยนแปลงไม่มาก ดังนั้นการรวม \displaystyle v\Delta t ทั้งหมดโดยเริ่มจาก t = 0 จนถึง\displaystyle t = t_1จะได้ระยะทางของการเคลื่อนที่ทั้งหมด เป็นระยะทางที่ถูกต้อง เมื่อ . \displaystyle \Delta t  เข้าใกล้ศูนย์ ในภาษาของวิชาแคลคูลัส การรวมคือ การอินติเกรต (integrate) ของ \displaystyle v\Delta t  จาก t = 0 จนถึง \displaystyle t = t_1 จะให้ระยะทางทั้งหมดสมมติว่าเป็น(x_1-x_0 ) โดยสัญลักษณ์คือ

(x_1-x_0 ) = \int\limits_0^{t_1 } {vdt}                                                                      (2.7)

ตามรูป \displaystyle v\Delta t  เป็นพื้นที่ใต้กราฟที่สูง v และกว้าง\displaystyle \Delta t กราฟรวมพื้นที่ \displaystyle v\Delta t  ทั้งหมดจะได้พื้นที่ใต้กราฟทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านขนานสูง \displaystyle v_0  กับ \displaystyle v_1   มีความกว้าง(t_1 - 0) ซึ่งจะมีค่าเท่ากับ \frac{1}{2}(v_0 + v_1 )(t_1 - 0)  นั่นคือ (x_1 - x_0 ) = (\frac{{v_0 + v_1 }}{2})t_1
ค่าสุดท้ายของตำแหน่ง \displaystyle x_1  ของความเร็ว \displaystyle v_1  และเวลา \displaystyle t_1  อาจเปลี่ยนเป็น x,v และ t ซึ่งเมื่อแทนค่าที่เวลาใดๆ ก็ยังคงความเป็นจริงทุกประการ เขียนเป็นสูตรได้ว่า

(x_1-x_0) = (\frac{{v_0+ v}}{2})t               (2.8) 
และเมื่อแทนค่า v จากสมการ (2.6) จะได้
\(x_1- x_0 ) = (\frac{{v_0+ v_0+ a_0 t}}{2})t
(x_1 - x_0 ) = v_0 t + \frac{1}{2}a_0 t^2                      (2.9)
ในขณะที่ v - v_0 = a_0 t ดังนั้น \displaystyle t = \frac{{v - v_0 }}{{a_0 }}
หากแทนค่า t ที่ได้ในสมการ (2.8) จะได้

\(x_1 - x_0 ) = (\frac{{v_0 + v}}{2})(\frac{{v - v_0 }}{{a_0 }})

ซึ่งจะได้     <b> v^2-v_0^2=2a_0 (x - x_0 )       (2.10)

สมการ (2.6) , (2.8) , (2.9) และ (2.10) มักนิยามเขียนในหนังสือต่างๆ ในรูปต่อไปนี้ (เพื่อง่ายต่อการจดจำ)
\upsilon=\mu+at                (สูตร 1)
\s =\left( {\frac{{\mu+\upsilon }}{2}} \right)t                (สูตร 2)
\s =\mu t+\frac{1}{2}at^2                 (สูตร 3)
และ \upsilon ^2-\mu^2= 2as                (สูตร 4)
ต้องตระหนักว่าสูตรเหล่านี้ใช้ได้ถูกต้องเฉเพาะกรณีที่ a เป็นค่าคงตัวเท่านั้น ในที่นี้เขียน \displaystyle x - x_0  เป็น s และ \displaystyle v_0   เป็น u
หมายเหตุ        สมการ (3) อาจได้จาก integrate โดยตรงคือ
x - x_0= \int\limits_0^t {vdt = \int\limits_0^t {(v_0+ a_0 t)dt} }
\displaystyle v_0 t + \frac{1}{2}a_0 t^2
ตัวอย่าง 2.1 ถ้าการเคลื่อนที่ของก้อนหินในแนวนิ่ง เกิดจากการโยนขึ้นด้วยความเร็วต้น 5.0 เมตรต่อวินาที ซึ่งจะมีความเร่งคงตัวในทิศลงมีค่า 10 เมตรต่อ(วินาที) \displaystyle ^2 ก้อนหินจะใช้เวลาเท่าใดถึงจะถึงจุดสูงสุด และใช้เวลาอีกเท่าใดจึงจะกลับถึงจุดที่โยน ความเร็วเฉลี่ยของช่วงขาขึ้นเป็นเท่าใด และระยะทางถึงจุดสูงสุดเป็นเท่าใด กราฟของความเร็วสำหรับช่วงเวลาทั้งขึ้นและลงจะเป็นอย่างไร

วิธีทำ         ให้การกระจัดในทิศทางเป็น x ,v และ a แทนความเร็ว และความเร่งในทิศขึ้นตามลำดับ
ดังนั้น ตามที่กำหนดให้ a = -10\displaystyle ^2
จากสมการ v=v_0+at
ความเร็วที่จุดยอดจะเป็น 0 และความเร็วต้น 5.0 m/s นำมาแทนค่าในสมการโดยค่า t ยังไม่ทราบจะได้ 0 = 5.0 (m/s)+(+10 m/s\displaystyle ^2) t
และหาค่า t ได้เท่ากับ 0.50 วินาที                                                                        คำตอบ 1
เวลาในช่วงขาลงควรเท่ากับเวลาในช่วงขาขึ้น เพราะการเคลื่อนที่ของก้อนหินเคลื่อนที่ด้วยความเร่งอย่างเดิมในระยะทางเท่ากันกับขาขึ้น นั่นคือ 0.50 วินาที                                                                                                                                        คำตอบ 2
ความเร็วเฉลี่ยของช่วงขาขึ้นจะหาได้จาก (v = v_0 )/2   =(0+5.0)/2
= 2.5 m/s                                 คำตอบ 3
ระยะทางสูงสุดหาได้จาก ความเร็วเฉลี่ยคูณเวลา = 2.5 x 0.5 = 1.25 m              คำตอบ 4
และกราฟของความเร็วกับเวลาจะเป็นดังรูป

หมายเหตุ อาจตรวจความถูกต้องของคำตอบโดยการคิดแบบอื่น เช่น ใช้สมการ \displaystyle x - 0 = v_0 t + \frac{1}{2}at^2
ใช้ค่าเวลาของคำตอบ 1 แทนค่าจะได้
x = 5.0 (m/s) x 0.5 (s) + (1/2) x (-10 m/s\displaystyle ^2 ) x (0.50 s)\displaystyle ^2
= 1.25 m                 ยืนยันคำตอบที่ 4
หากใช้สูตรระยะนี้ หาเวลาการเคลื่อนที่ขาลงโดยใช้ความเร่งตามที่กำหนด ซึ่งเราจะต้องใช้การกระจัดขาลงเป็น – 0.125 เมตรเพราะการกระจัดมีทิศลง ใช้ความเร็วต้นเป็นศูนย์ (จากจุดยอด) แทนค่าจะได้

วัตถุตกอย่างเสรีมีความเร่งสม่ำเสมอ
นักเรียนสามารถทดลองได้ด้วยตนเองว่า สิ่งหรือวัตถุต่างๆ ไม่ว่าจะมีมวลเท่าใด (ซึ่งถ้าความหนาแน่นมากพอแรงต้านของอากาศจะไม่มีผลกระทบมากนัก) จะตกลงสู่พื้นด้วยความเร่งสม่ำเสมอ นั่นคือ ความเร่งมีค่าคงตัวและมีทิศลงในแนวดิ่งเสมอ คำแนะนำสำหรับรายละเอียดของการทดลองจะมีให้ที่ท้ายบทนี้ ซึ่งนักเรียนจะพบกับเทคนิคการหาความเร็วในช่วงเวลาสั้นๆ เช่น 10 มิลลิวินาที โดยให้วัตถุลากแถบกระดาษ และทำจุดเวลาบนแถบกระดาษ วัตถุตกเป็นระยะเพียงประมาณ0.70 เมตรสามารถหาความเร็วที่ต่างๆ และหาความเร่งได้ลำพังการใช้นาฬิกาจับเวลาธรรมดาจะไม่สามารถหาเวลาของการตกในช่วงสั้นๆ ได้อย่างแม่นยำนัก (มีความคลาดเคลื่อนสูง)
การตกอย่างเสรี (free fall) หมายถึง การตกโดยไม่มีสิ่งใดขีดขวางหรือกระทบ การมีอากาศกระทบระหว่างตกทำให้ไม่ได้ผลดังอุดมคติ แต่อาจพิสูจน์ได้ว่าการมีอากาศไม่ทำให้การตกผิดไปจากอุดมคติมากนักโดยเฉเพาะเมื่อความเร็วยังไม่มาก แต่ถ้าวัตถุตกจากที่สูง วัตถุมีความเร็วมากในช่วงท้ายซึ่งอากาศจะต้านการเคลื่อนที่มากขึ้น และทำให้ความเร่งผิดไป
ความเร่งในการตกของวัตถุลงสู่พื้นโลกเรียกว่า ค่า ความโน้มถ่วง (gravity) และใช้สัญลักษณ์เป็น g ซึ่งนักเรียนจะเข้าใจดีขึ้นถึงเหตุผลของการตกด้วยความเร่งหลังจากเรียนฟิสิกส์บทต่อไป ค่าของความเร่งนี้ ณ จุดต่างๆ ในประเทศไทย จะมีค่าระหว่าง 9.780 ถึง 9.785 เมตร/(วินาที)2 ค่านี้ขึ้นกับละติจูด (latitude) ของจุดที่ทดลอง ค่าเฉลี่ยของ g ทั่วโลกที่ถือเป็นค่ามาตรฐาน คือ 9.8065 m/s2
สำหรับการคำนวณโดยประมาณ เพื่อความง่ายในการคำนวณ การใช้ค่า g เท่ากับ 10 m/s2 ในการคำนวณทำให้ผลลัพธ์ผิดไปประมาณ 2 เปอร์เซ็นต์ พอเป็นที่ยอมรับได้ ดังนั้นหากมิได้กำหนดเป็นอย่างอื่น อาจใช้ค่า g เป็น 10 m/s^2 สำหรับแบบฝึกหัดต่างๆ

การเคลื่อนที่ในสองมิติ และสามมิติ

หลังจากเข้าใจการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ หรือการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงแล้ว การเคลื่อนที่ในสองมิติเป็นเรื่องที่ไม่ยาก เพราะการเคลื่อนที่ในสองมิติสามารถแยกคิดแบบการเคลื่อนที่หนึ่งมิติในสองทิศที่ตั้งฉากกัน และสามารถนำการคิดสองทางนั้นมาประกอบกันหรือนำมารวมกันแบบเวกเตอร์ได้ สำหรับการเคลื่อนที่ในสามมิติก็คล้ายกัน เราสามารถคิดแยกเป็นการคิดแบบหนึ่งมิติ ตามแนวของแกนสามแกนที่ตั้งฉากซึ่งกัน คือ ตามแกนของระบบโคออร์ดิเนต XYZ สำหรับการเคลื่อนที่สามมิติ และตามแกนของระบบโคออร์ดินเต XY สำหรับการเคลื่อนที่ในสองมิติ ต่อไปนี้เราจะพิจารณาการเคลื่อนที่ในสองมิติเป็นตัวอย่าง
ตำแหน่งของวัตถุสองมิติที่จุด P ที่เวลา tกำหนดได้ด้วยค่า x1 และ y1 ทางแกน x และแกน y ตามลำดับ และตำแหน่งขอวัตถุนั้นที่เวลา t2 สมมุติให้เป็น x2 และ y2 การกระจัดหรือการเปลี่ยนตำแหน่งระหว่างสองจุดนั้น ให้เป็นไปตามเส้นโค้งดังรูป 2.6

รูป 2.6 แสดงตำแหน่งและการกระจัดของวัตถุในช่วงเวลา t1 t2 


ความเร็วเฉลี่ยสำหรับการเคลื่อนที่ทาง x คือ
v_{x,av}=\frac{{x_2-x_1 }}{{t_2- t_1}}
และความเร็วเฉลี่ยสำหรับการเคลื่อนที่ทาง y คือ
v_{x,av}=\frac{{y_2- y_1 }}{{t_2- t_1 }}

เมื่อ t1 และ t2 เข้าใกล้กันมากๆ ความเร็วเฉลี่ยก็จะเป็นความเร็วขณะใดขณะหนึ่งเช่นเดียวกับการคิดในหนึ่งมิติ
นั่นคือ เราสามารถคิดการเคลื่อนที่ในสองมิติ ในลักษณะที่เป็นการประกอบกันของเวกเตอร์หนึ่งมิติเป็นเวกเตอร์สองมิติ (two dimensional vector) สำหรับการเคลื่อนที่ในสามมิติสามารถคิดแยกตามสามองค์ประกอบของเวกเตอร์สามมิติ ปริมาณเวกเตอร์ (vector quantity) คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศ ปริมาณสเกลาร์ (scalar) เป็นปริมาณที่มีเฉเพาะขนาด

เวกเตอร์ตำแหน่งและเวกเตอร์ความเร็วในสองมิติ

                 ดังตัวอย่างการเคลื่อนที่ที่ผ่านมา อาจคิดว่า เวกเตอร์\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _1 เป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง (position vector) ที่เวลา \displaystyle t_1  สำหรับวัตถุที่มีค่าทาง x เป็น \displaystyle x_1 และมีค่า y เป็น\displaystyle y_1 เวกเตอร์ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _1  จะมีขนาดและทิศชัดเจนเทียบกับจุดกำเนิดของโคออร์ดิเนต เมื่อเวลาเปลี่ยนเป็น \displaystyle t_2  ตำแหน่งของวัตถุเปลี่ยนไปเป็นเวกเตอร์\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}}
\over R} _2
องค์ประกอบทาง x ของเวกเตอร์ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _1  คือ \displaystyle x_1  องค์ประกอบทาง y ของเวกเตอร์ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _1  คือ ค่า\displaystyle y_1  องค์ประกอบทาง x ของเวกเตอร์ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _2  คือ \displaystyle x_2  และองค์ประกอบทาง y ของเวกเตอร์\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _2 คือ\displaystyle y_2
ความเร็วเฉลี่ยสามารถเขียนในรูปเวกเตอร์ได้เป็น
\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _{av} = \frac{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _2 - \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} _1 }}{{t_2 - t_1 }}
โดยมีองค์ประกอบทาง x และ y เป็นไปตามที่ได้เขียนมาแล้ว

อัตราเร็วเฉลี่ย สำหรับการเคลื่อนที่ในสองมิติเช่นนี้ จะต่างจากความเร็วเฉลี่ยอย่างเห็นได้ชัดคือ ขนาดของอัตราเร็วเฉลี่ยระหว่างจุด P และ Q จะต้องคิดมาจากระยะทางตามเส้นโค้งตามเส้นทางของการเคลื่อนที่หารด้วยเวลา ในขณะที่ขนาดของความเร็วเฉลี่ยจะเป็นระยะทางตามเส้นตรงระหว่าง P และ Qหารด้วยเวลา ดังนั้น หากการเคลื่อนที่เป็นไปตามกราฟในรูป 2.6 อัตราเร็วเฉลี่ยจะมีค่ามากกว่าขนาดของความเร็วเฉลี่ย แต่เมื่อพิจารณาจุด P และ Q ที่เข้าใกล้กันมากขึ้น อัตราเร็วที่จุด Q ซึ่งเป็นอัตราเร็วที่ขณะใดขณะหนึ่ง จะมีขนาดเท่ากับขนาดของความเร็วขณะใดฯหนึ่งที่จุด Q นั่นเอง อัตราเร็วที่จุด Q ไม่จำเป็นต้องบอกทิศของการเคลื่อนที่ หรือไม่ใส่ใจเรื่องทิศว่ากำลังเคลื่อนที่ไปทางใด ส่วนความเร็วที่จุด Q จะต้องกำหนดหรือรู้ชัดว่ากำลังเคลื่อนที่ไปทางทิศใดด้วย

นักเรียนจะได้เรียนเรื่องทฤษฎีจลน์ของแก๊สในบทหนึ่งข้างหน้า ซึ่งจะได้ภาพว่าโมเลกุลของแก๊สในภาชนะปิดลอยอยู่ห่างๆกัน ไม่มีโมเลกุลที่อยู่นั่ง ทุกโมเลกุลเคลื่อนที่อยู่ตลอดเวลาด้วยอัตราเร็วต่างๆกัน และเคลื่อนที่ในทิศทางต่างๆ โดยมีความสมมาตร (symmetry) เชิงทิศทาง นั่นคือ ความเร็วที่ไปในทิศใดทิศหนึ่งก็เหมือนกับความเร็วที่ไปในทิศอื่นๆโดยรอบ ทำให้ความเร็วเฉลี่ยในทุกโมเลกุล (เป็นการเฉลี่ยระหว่างหลายๆโมเลกุลแทนที่จะเป็นการเฉลี่ยในช่วงเวลาที่ยาวขึ้น) มีค่าเป็นศูนย์ (ทำให้แก๊สทั้งหมดไม่ได้เคลื่อนที่ไปทางใด) แต่อัตราเร็วเฉลี่ยของโมเลกุลของแก๊สนี้จะไม่เป็นศูนย์ หรือการเฉลี่ยเฉเพาะขนาดของความเร็วโดยไม่คิดทิศ (ไม่เฉลี่ยแบบเวกเตอร์) จะไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงควรใช้คำอัตราเร็วเฉลี่ยของโมเลกุลซึ่งไม่เกี่ยวกับทิศของการเคลื่อนที่ของโมเลกุล

สำหรับการเคลื่อนที่ของรถยนต์บนถนนนั้น บ่อยครั้งที่เราสนใจว่า รถเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่าใด โดยไม่สนใจนักว่ากำลังเคลื่อนที่ไปทิศใด การเดินทางด้วยรถยนต์จากเมืองหนึ่งไปอีกเมืองหนึ่ง ก็จำเป็นที่รถต้องไปตามถนนระหว่างสองเมืองนั้น ระยะทางตามถนนมีความสำคัญกว่าระยะทางตามเส้นตรงระหว่างเมืองตามแผนที่ ดังนั้นอัตราเร็วของรถมีความสำคัญต่อผู้ใช้รถ และในทางปฏิบัติเครื่องมือที่จะวัดอัตราเร็วของรถสามารถทำได้ง่ายกว่าการวัดความเร็ว เพราะการวัดทิศที่ขนาดต่างๆ จะทำได้ยาก เครื่องวัดในรถเป็นเครื่องแสดงอัตราเร็วหรือเป็น “มาตรอัตราเร็ว” (speedometer) โดยวัดจาดอัตราเร็วของการหมุนของล้อและขนาดของยางที่ใช้ ดังนั้นการใช้ยางที่ไม่เป็นไปตามการกำหนดของรถ จะทำให้มาตรวัดอัตราเร็วแสดงผลผิดจากความเป็นจริง หรือยางเก่าที่ใช้สึกหรอไปมาก จะทำให้อัตราเร็วผิดไปได้เล็กน้อยและได้ระยะทางสะสมที่ผิดไปด้วย

ความเร่งในสองมิติ
ตามนิยามของความเร่ง ซึ่งการเปลี่ยนความเร็วต่อเวลา ความเร่งเฉลี่ยย่อมเขียนเป็นสัญลักษณ์ตามสมการต่อไปนี้ คือ
\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a} _{av} = \frac{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _2 - \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _1 }}{{t_2 - t_1 }}
หากเป็นความเร่งเฉลี่ยระหว่างจุด P และ Q ความเร็วและ     \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _2 คือความเร็ว (ขณะใดขณะหนึ่ง) ที่จุด Q และ P ตามลำดับ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _2 - \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _1ต้องเป็นการลบอย่างเวกเตอร์ นั่นคือ  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _2-\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _1 อาจมีขนาดและทิศเป็นไปตามรูปใดรูปหนึ่งของรูป 2.7

รูป 2.7 การลบอย่างเวกเตอร์แสดงความเร็วที่เปลี่ยนไปในช่วงเวลาที่กำหนด
ขนาดและทิศของความเร็วที่เปลี่ยนไปในช่วงเวลา \displaystyle t_2 - t_1   แสดงด้วยเวกเตอร์\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _2 - \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _1และเมื่อจุด P และ Q เข้าใกล้กันมากๆ ความเร่งเฉลี่ยกลาเป็นความเร่งขณะใดขณะหนึ่งได้โดย   \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a}= \frac{{d\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} }}{{dt}}  ตามสัญลักษณ์ของแคลคูลัส มีความหมายดังได้กล่าวมาแล้วดังรูป 2.6 ความเร็วที่เปลี่ยนไปไม่จำเป็นต้องอยู่ในทิศเดียวกันกับความเร็วเดิม  ซึ่งหมายความว่า ความเร่งของการเคลื่อนที่ไม่จำเป็นต้องอยู่ในทิศเดียวกับความเร็ว จะเป็นขณะใดๆก็ตาม

แผนภาพเชิงเวกเตอร์ของความเร่งเทียบกับเวกเตอร์ความเร็วที่ขณะหนึ่ง อาจเป็นดังรูป 2.7 ซึ่งโดยทั่วไปความเร่งอาจทำมุมขนาดหนึ่งที่ไม่ตั้งฉากกับความเร็วดังรูป และสามารถจะมองได้ว่า มีองค์ประกอบหนึ่งของความเร่งที่ตั้งฉากกับความเร็ว สมมุติให้เป็น \displaystyle a_N  และมีอีกองค์ประกอบหนึ่งอยู่ในแนวของความเร็วให้เป็น \displaystyle a_T  ทั้งสององค์ประกอบแสดงไว้ในรูป 2.8


รูป 2.8 แผนภาพเชิงเวกเตอร์ของความเร็วและความเร่ง

ความเร็วสัมพัทธ์ (Relative Velocity)

การจะบอกว่าวัตถุอยู่ที่ตำแหน่งใดให้ชัดเจน และเป็นที่เข้าใจกันได้เป็นอย่างดี ย่อมต้องมีจุดอ้างอิง และแกนอ้างอิง นั่นคือ มีระบบโคออร์ดิเนตอ้างอิง ถ้ามีผู้สังเกตสองคน ต่างใช้ระบบโคออร์ดิเนตของตนเองและเคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน นั่นคือ ระบบหนึ่งมีความเร็วเมื่อเทียบกับอีกระบบหนึ่ง สิ่งนี้เป็นไปได้เสมอ เมื่อเป็นเช่นนี้ วัตถุที่เห็นอยู่นิ่งในระบบหนึ่งก็จะปรากฏเคลื่อนที่ในอีกระบบหนึ่ง ตัวอย่างเช่น  ขณะที่รถไฟวิ่งด้วยความเร็วคงตัวผ่านชานชาลาแห่งหนึ่งผู้โดยสารในรถไฟทำของหล่นจากมือลงพื้น ผู้สังเกตในรถไฟเห็นวัตถุนั้นตกลงด้วยความเร่งในแนวดิ่ง ทั้งนี้เทียบกับตัวเองในรถไฟ ส่วนผู้ที่อยู่บนชานชาลานอกรถไฟ มองผ่านห้าต่างเห็นว่าวัตถุตกลงเป็นวิถีโค้งแบบโพรเจกไทล์ ซึ่งนักเรียนจะได้เรียนการเคลื่อนที่แบบนี้ในโอกาสต่อไป ความเร็ว ณ จุดต่างๆ หรือที่เวลาต่างๆ ของวัตถุที่สังเกตได้ของผู้สังเกตทั้งสองต่างกันโดยตลอด เรื่องนี้แสดงให้เห็นว่า ความเร็วเป็นปริมาณสัมพัทธ์ ซึ่งขึ้นกับการเคลื่อนที่ของผู้สังเกตเสมอ (ซึ่งหมายถึงระบบอ้างอิงที่ผู้สังเกตใช้ด้วย
ตัวอย่างของการสังเกตที่เกี่ยวกับความเร็วสัมพัทธ์เช่น ขณะที่ฝนตก ให้เม็ดที่มีขนาดที่ทำให้ตกด้วยความเร็วสม่ำเสมอ 10 เมตรต่อวินาที และตกลงในแนวดิ่งในอากาศนิ่ง (สำหรับผู้สังเกตอยู่นิ่ง) สำหรับผู้สังเกตที่อยู่ในรถยนต์วิ่งด้วยความเร็ว 36  กิโลเมตรต่อชั่วโมง ( 10 เมตรต่อวินาที) จะเห็นเม็ดฝนตกอย่างไร ซึ่งความเร็วของเม็ดฝนที่เห็นจะเป็นความเร็วสัมพัทธ์กับผู้สังเกตที่เคลื่อนที่นั้นเอง สิ่งที่ลอยอยู่นิ่งในอากาศข้างหน้าของผู้สังเกตที่อยู่ในรถ ผู้สังเกตย่อมเห็นสิ่งนั้นเคลื่อนที่เข้าหาด้วยความเร็วมีขนาดเท่าที่รถวิ่ง ซึ่งหมายถึงความเร็วที่มีในทิศตรงกันข้ามกับการเคลื่อนที่ของตนเอง สิ่งที่อยู่นิ่งด้านข้าง หรือหลังของผู้สังเกตก็จะปรากฏมีความเร็วเช่นเดียวกัน เพราะฉะนั้นผู้สังเกตจึงจะเห็นเม็ดฝนมีความเร็วเดิมบวกด้วยความเร็วที่มีทิศตรงกันข้ามกับความเร็วของตนเองแต่ขนาดเท่ากัน    \displaystyle( - \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _{0b} )  เมื่อให้\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _{0b} เป็นความเร็วของผู้สังเกต (observer) ให้\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _R แทนความเร็วของเม็ดฝน ความเร็วของเม็ดฝนที่ผู้สังเกตในรถเห็นจะเป็น \displaystyle\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}}\over v} _R+(-\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _{0b} )  หรือ \displaystyle\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _R-\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _{0b} นั่นเอง และสามารถแสดงขนาดและทิศทางได้ดังรูป 2.9


รูป 2.9 แสดงความเร็วสัมพัทธ์ที่ผู้สังเกตเห็น  

กรอบอ้างอิงเฉื่อย (Inertial frame)

กรอบอ้างอิง (frame of  reference) ในที่นี้ตะหมายถึงระบบโคออร์ดิเนตที่ผู้สังเกตหนึ่งๆ ใช้ในการสังเกตการณ์เคลื่อนที่ของวัตถุ กรอบอ้างอิงต่างๆ อาจมีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์กันได้เป็นเรื่องปกติ ความจริงยากที่จะบอกได้ว่ากรอบอ้างอิงใดเป็นกรอบที่อยู่นิ่งอย่างสมบูรณ์ เช่น เราอยู่นิ่งที่ใดบนโลก แต่เราก็ทราบว่า โลกหมุนรอบตัวเองและเคลื่อนที่ไปรอบดวงอาทิตย์ในขณะเดียวกัน ดังนั้นกรอบอ้างอิงที่เราว่าอยู่นิ่งในตอนแรกนั้น ทั้งหมุนและเคลื่อนที่ไปในอวกาศอย่างรวดเร็ว จะเร็วเท่าใด ก็ต้องกำหนดให้ได้ก่อนว่าจะใช้จุดใดเป็นจุดอยู่นิ่งที่จะใช้อ้างอิง เช่น ดวงอาทิตย์หรือจุดศูนย์กลางของกาแล็กซี (galaxy) ข้อนี้พอจะชี้ให้เห็นได้ว่าความเร็วนั้นเป็นปริมาณสัมพัทธ์เสมอ และความเร็วที่เป็นศูนย์อาจจะไม่เป็นศูนย์ที่เป็นศูนย์ที่แท้จริง แต่กรอบอ้างอิงที่มีความเร็วคงตัวสม่ำเสมอ หรือกรอบอ้างอิงที่มีความเร่งนั้น จะมีทางที่จะรู้ได้ เช่น เมื่อสังเกตดาวต่างๆ ที่อยู่ไกลแล้วเห็นดาวอยู่ตำแหน่งเดิม อย่างน้อยแสดงว่าไม่มีการหมุนและเมื่ออยู่ไกลจากวัตถุอื่นย่อมไม่มีแรงมากระทำ กรอบอ้างอิงที่มีความเร็วคงตัว เรียกว่า กรอบอ้างอิงเฉื่อย (inertial frame of reference ) กรอบอ้างอิงเช่นนี้มีความสำคัญต่อวิชาฟิสิกส์ เพราะเป็นกรอบอ้างอิงที่กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันเป็นจริง ซึ่งนักเรียนกำลังจะเรียนในบทต่อไป

การทดลองและกิจกรรม
การทดลอง 2.1 การวัดอัตราเร็วโดยใช้เครื่องเคาะสัญญาณเวลา
จุดประสงค์   เพื่อศึกษาการวัดอัตราเร็วเฉลี่ยและอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง

วิธีทดลอ
ต่อไฟฟ้า 4 -6 โวลต์จากหม้อแปลงต่ำเข้ากับเครื่องเคาะสัญญาณเวลา ดังรูป 2.10 สอดแถบกระดาษผ่านช่องใต้คันเคาะของเครื่องเคาะสัญญาณเวลาโดยให้อยู่ใต้แผ่นกระดาษคาร์บอน เปิดสวิตซ์ให้เครื่องเคาะสัญญาณเวลาทำงาน แล้วใช้มือดึงแถบกระดาษตรงๆ ให้ผ่านเครื่องด้วยอัตราเร็วต่างๆ กัน เช่น ครั้งแรกดึงช้าๆ จากนั้นเปลี่ยนแถบกระดาษใหม่  แล้วทำการทดลองเหมือนเดิม แต่เปลี่ยนอัตราเร็วของการดึงเป็นดึงให้เร็วขึ้น ดึงด้วยอัตราเร็วหลายๆแบบ เช่น ดึงอย่างสม่ำเสมอ สังเกตจุดที่ปรากฏบนกระดาษที่ได้แต่ละครั้งหาอัตราเร็วเฉลี่ยและอัตราเร็วขณะหนึ่งของการเคลื่อนที่จากแถบกระดาษแต่ละแถบ


รูป 2.10 การวัดอัตราเร็วในการเคลื่อนของมือ

– เมื่อดึงแถบกระดาษช้าๆ ระยะห่างระหว่างจุดจะเป็นอย่างไร และเมื่อดึงเร็วขึ้นจะเป็นอย่างไร
–  ระยะห่างระหว่างจุดแตกต่างกันอย่างไร เมื่อเปรียบเทียบการดึงแถบกระดาษด้วยอัตราเร็วสม่ำเสมอและอัตราเร็วไม่สม่ำเสมอ
การทำงานของเครื่องเคาะสัญญาณเวลาโดยสังเขป : แม่เหล็กไฟฟ้าที่เหนี่ยวนำโดยกระแสไฟฟ้าผ่านขดลวดรอบแกนเหล็ก จะดึงดูดแผ่นเหล็กให้เข้าใกล้ทุกครั้งที่กระแสกผ่าน ซึ่งจะได้ 100 ครั้งต่อวินาทีจากไฟฟ้า 50 เฮริตซ์ แต่ปกติจะมีโดยตัดกระแสไฟฟ้าไปครึ่งรอบ ทำให้ได้ 50 จุดต่อวินาที

การทดลอง 2.2 การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ตกแบบเสรี
จุดประสงค์  เพื่อศึกษาการหาความเร่งของวัตถุที่ตกแบบเสรี
วิธีทดลอง
วางเครื่องเคาะสัญญาณเวลาที่ตอกับหม้อแปลงโวลต์ต่ำบนขอบโต๊ะที่อยู่สูงจากพื้นประมาณ 1 เมตร โดยใช้มือช่วยจับเครื่องเคาะสัญญาณเวลาไว้ ดังรูป 2.11 ยึดถุงทรายให้ติดกับปลายด้านหนึ่งของแถบกระดาษ สอดแถบกระดาษเข้าไปในช่องของเครื่องเคาะสัญญาณโดยให้ถุงทรายอยู่ด้านล่างและชิดกับเครื่องเคาะสัญญาณเวลามากที่สุด จัดเครื่องเคาะสัญญาณเวลาจนแถบกระดาษอยู่ในแนวดิ่ง เปิดสวิตซ์ให้เครื่องเคาะสัญญาณเวลาทำงาน แล้วปล่อยถุงทรายตกลงสู่พื้น นำแถบกระดาษที่ได้มาวิเคราะห์ดังเช่นการทดลอง 2.1 เพื่อหาความเร็ว ขณะหนึ่ง ณ เวลากึ่งกลางของแถบกระดาษในช่วงนั้น ใส่ผลการคำนวณในตาราง (ตารางอย่างใดจะดูง่ายเข้าใจง่าย ตรงต่อความต้องการในการวิเคราะห์จากข้อมูล) แล้วเขียนกราฟระหว่าง v กับ t โดยให้ v อยู่บนแกนยืนและ t อยู่บนแกนนอน (เพื่อการวิเคราะห์)

 
รูป 2.11 การจัดอุปกรณ์สำหรับการทดลองที่ 2.2

–  กราฟที่ได้มีลักษณะอย่างไร
–   จากลักษณะของกราฟแสดงว่าความสัมพันธ์ระหว่างขนาดความเร็วกับเวลาเป็นอย่างไร
–    ความชันของกราฟมีค่าเท่าใด และค่านี้แทนปริมาณอะไร
กิจกรรม 2.1    นักเรียนอาจอยากหาวิธีวัดค่าความเร่งของการตกแบบเสรีโดยวิธีอื่นๆ ซึ่งอาจกระทำได้หลายวิธี แล้วแต่ว่าจะหาอุปกรณ์อย่างใดสะดวก วิธีที่ง่ายอย่างหนึ่งคือ หากใช้บิวเร็ตของเคมีใส่น้ำ ยึดไว้ให้สูงจากพื้นหรือถ้วยรองรับน้ำพอประมาณปรับให้หยดน้ำเป็นจังหวะ ซึ่งจะเป็นจังหวะสม่ำเสมอ ปรับความสูงชนิดที่เห็นน้ำหยดหนึ่งๆ ถึงพื้นที่ขนาดหยดหนึ่งกำลังหลุดจากปลายบิวเร็ตพอดี แสดงว่า เวลาที่ใช้ในการตกถึงพื้นเท่ากับเวลาของคาบในการหยด ซึ่งคาบสามารถหาได้ค่อนข้างละเอียดโดยการจับเวลาในการหยดหลายๆ หยดเช่น 30 หยด ใช้นาฬิกาข้อมือจับเวลาได้

รูป 2.12 การหยดน้ำ

กิจกรรม 2.2   วิธีอื่นที่อาจจะทำได้สะดวกในสมัยนี้คือ หากสามารถหากล้องถ่ายวีดีทัศน์แบบดิจิตอล (DVD) ได้ จะสามารถถ่ายภาพของตกเช่น ลูกกอล์ฟตก โดยตั้งสเกลที่เห็นได้ชัดไว้ใกล้ๆ เมื่อดูภาพเฟรมต่อเฟรม จะเห็นภาพการเคลื่อนที่ที่สามารถหาความเร็วที่เพิ่มขึ้นได้และหาความเร่งได้จากจำนวนเฟรมต่อวินาที หรือไม่ก็ใช้กล้องถ่ายภาพชั้นดีที่สามารถถ่ายภาพต่อเนื่องได้ และถ่ายได้หลายภาพต่อวินาที ถ่ายภาพของวัตถุวัตถุตกแบบเสรีในลักษณะที่กล่าวแล้ว อาจหาความเร่งในการตกได้เช่นเดียวกัน