บทนำ

ฟิสิกส์ วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟิสิกส์ (physics) มาจากภาษากรีก ที่มีความหมายว่า “ธรรมชาติ” (nature) ดังนั้นฟิสิกส์จึงควรจะหมายถึง เรื่องราวที่เกี่ยวกับปรากฎการณ์ธรรมชาติทั้งหลาย  และมีความหมายเช่นนั้นในสมัยก่อน ซึ่งบางครั้งอาจเรียกว่า “ ปรัชญาธรรมชาติ ” (natural science) ปัจจุบันความรู้ความเข้าใจในธรรมชาติได้ขยายขึ้นอย่างมากทั้งในเชิงรายละเอียดและสาขาของความรู้ โดยเฉเพาะความรู้ความเข้าใจทางวิทยาศาสตร์ ฟิสิกส์จึงกลายเป็นส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์ ( science )

วิทยาศาสตร์ โดยทั่วไปจะหมายถึง วิทยาศาสตรธรรมชาติ (natural science) และจะไม่หมายถึงเฉเพาะองค์ความรู้ความเข้าใจที่สะสมไว้เท่านั้น แต่จะมีความหมายรวมถึง กิจกรรมของมนุษย์ในการค้นคว้าหาความจริงในความเป็นไปของธรรมชาติรอบตัว ทั้งที่มีชีวิตและไม่มีชีวิต  นั่นคือวิทยาศาตร์หมายถึง องค์ความรู้และวิธีหาความรู้ ด้วยวิธีทางวิทยาศาสตร์หรือการศึกษาตามวิธีของวิทยาศาสตร์ การศึกษาที่เกี่ยวข้องกับสิ่งมีชีวิตเรียกว่าวิทยาศาสตร์ชีวภาพ ( biological science ) ส่วนการศึกษาที่ไม่เกี่ยวข้องกับสิ่งมีชีวิตเรียกว่าวิทยาศาสตร์กายภาพ ( physical science ) นับเป็นการแบ่งวิทยาศาสตร์อย่างกว้างๆ ฟิสิกส์จัดอยู่ในส่วนของวิทยาศาสตร์กายภาพ การแยกวิทยาศาสตร์ออกเป็นสาขามิได้หมายความว่า องค์ความรู้ทางวิทยาศาสตร์จะต้องแยกจากกัน แต่องค์ความรู้ในสาขาต่างๆ สามารถนำมาสนับสนุนซึ่งกันและกันได้ เช่นความรู้และความเข้าใจต่อระบบชีวภาพในระดับที่ลึกซึ้งเช่นในปัจจุบัน สามารถประสานกับความร็ความเข้าใจทางฟิสิกส์และเคมีเป็นอย่างดี การแยกสาขาของวิทยาศาสตร์อาจมองว่าเป็นเพียงเพื่อความสะดวกในการเรียน แต่การเข้าใจในธรรมชาติโดยรวม อาจต้องนำความเข้าใจจากหลายสาขาวิชามาประสานกันจึงจะสมบูรณ์ดีที่สุด อย่างไรก็ตามอาจกล่าวได้ว่าวิชาวิทยาศาสตร์ทุกแขนงเกี่ยวข้องสัมพันธ์กัน ในบรรดาสาขาต่างๆ ของวิทยาศาสตร์กายภาพ เช่น เคมี ฟิสิกส์ ธรณีวิทยา อุตุนิยมวิทยา ฯลฯ วิชาฟิสิกส์นับเป็นวิชาพื้นฐานที่สำคัญ เนื่องจากวิชาฟิสิกส์ ยังคงไว้ซึ่งส่วนที่เป็นพื้นฐานของความเข้าใจต่อธรรมชาติ เช่น เรื่องแรงการเคลื่อนที่ พลังงาน สมบัติต่างๆ ของสสาร เช่น การนำไฟฟ้า ฯลฯ และเป็นพื้นฐานวิชาให้สาขาอื่นนำไปประยุกต์

วิธีวิทยาศาสตร์  (scientific method) กิจกรรมการค้นคว้าหาความจริงของธรรมชาติของกลุ่มบุคคลที่เรียกกันว่านักวิทยาศาสตร์นั้น กระทำกันอย่างเป็นระบบระเบียบและแบบแผน แต่ไม่ถึงกับว่านักวิทยาศาสตร์ทุกคนทำงานในรูปแบบอย่างเดียวกันทั้งหมดนักวิทยาศาสตร์แต่ละคนได้ทำการค้นพบความเป็นไปของธรรมชาติอย่างไม่ซ้ำแบบกันทำให้เป็นการยากที่จะกล่าวว่าวิธีเช่นไรที่เป็นวิธีที่เป็นแบบอย่างของนักวิทยาศาสตร์ แต่ก็มีบางอย่างที่นับเป็นสาระสำคัญของวิธีวิทยาศาสตร์ได้ กล่าวคือ นักวิทยาศาสตร์ทุกคนมีจุดมุ่งหมายที่จะค้นคว้าหาความจริงหาคำตอบที่ถูกต้องเกี่ยวกับความจริงของธรรมชาติ  นักวิทยาศาสตร์จะต้องมีวิธีแสดงหรือพิสูจน์ว่าคำตอบที่ได้นั้นๆ ถูกต้อง โดยนับว่าถ้าเป็นความจริงจะต้องทดสอบได้หรือพิสูจน์ได้ การทดลอง (experimentation) เป็นสิ่งที่นักวิทยาศาสตร์ใช้พิสูจน์ความจริงต่างๆ แนวความคิดใหม่หรือทฤษฎีใหม่ นั่นคือข้อเสนอในคำอธิบายใหม่หรือหลักการใหม่ที่จะอธิบายธรรมชาติ จะต้องมีการทดลองพิสูจน์ยืนยันได้ด้วยรวมทั้งยังต้องพิสูรน์ได้ทุกแง่ทุกมุม จึงจะเป็นที่ยอมรับกันในวงการวิทยาศาสตร์ ถ้าเมื่อใดมีการทดลองที่ขัดแย้ง กับทฤษฎีที่ยอมรับอยู่แม้แต่เพียงรายเดียว และมีเหตุผลหนักแน่น นักวิทยาศาสตร์จะต้องหาแนวความคิดใหม่ที่จะอธิบายผลการทดลองที่ขัดแย้งให้ได้ คำอธิบายใหม่จะต้องอธิบายความจริงเดิมได้ดีไม่ด้อยกว่าทฤษฎีเดิมหรือไม่ขัดแย้งกัน เมื่อมีแนวความคิดหรือทฤษฎีใหม่เกิดขึ้นย่อมมีการคิดคาดการต่างๆ (deduction) จากทฤษฎีใหม่ในทำนองว่า “ ถ้าเป็นอย่างนั้นจะต้อง…(เป็นอย่างไรต่อไป) …” ยังผลให้มีการทดลองใหม่ๆ เพื่อทดสอบทฤษฎีนั้นๆต่อไป งานทดสอบความคิดต่อความจริงของธรรมชาติโดยวิธีของวิทยาศาสตร์จึงไม่มีที่สิ้นสุด ข้อสงสัยเกี่ยวกับธรรมชาติก็เกิดขึ้นได้อยู่เสมอเช่นกัน วิธีหาความจริงต่อความเป็นไปของธรรมชาติของนักวิทยาศาสตร์นั้น นักวิทยาศาสตร์ตระหนักดีว่ามีโอกาสผิดพลาดได้ง่ายหากไม่รัดกุม การเชื่อบุคคลที่น่านับถือโดยไม่พิจารณาเหตุผลให้รอบคอบอาจนำไปสู่คำตอบที่ผิดได้ ไม่มีสิ่งใดดีเท่ากับที่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยกันทดลองที่พร้อมด้วยเหตุผลตามหลักการที่ยอมรับอยู่แล้ว วิธีป้องกันไม่ให้การสรุปผลการทดลองผิดพลาดก็คือ จะต้องวางจัวอยู่ในความเป็นกลางจะต้องไม่เอนเอียงต่อการเก็บข้อมูลและต่อผลการทดลองว่าจะเป็นหนึ่งสิ่งใดล่วงหน้า และซื่อตรงต่อการทดลองที่ทำได้ การปฎิบัติเช่นนี้นับว่าเป็นส่วนสำคัญของวิธีวิทยาศาสตร์

เทคโนโลยี (technology) หมายถึง วิทยาการที่เกี่ยวกับศิลปะในการสร้าง ผลิตหรือใช้อุปกรณ์ต่างๆ เพื่ออำนวยประโยชน์มนุษย์โดยตรง หรือสิ่งต่างๆ ที่มนุษย์ใช้สอยได้ เทคโนโลยีต่ออารยธรรมของมนุษย์มาก่อนวิทยาศาสตร์ เพราะมนุษย์รู้จักใช้เทคโนโลยีมาตั้งแต่ยุคดึกดำบรรพ์ก่อนประวัติศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ทราบว่ามนุษย์รู้จักใช้ไฟมาตั้งแต่ยุคหิน มนุษย์รู้จักใช้ไฟหลอมโลหะเปนเครื่องมือมาก่อนมีการบันทึกใดๆ ในประวัติศาสตร์ มนุษย์รู้จักใช้เครื่องกลเพื่อผ่อนแรง เช่น ล้อ ลูกกรอก คานงัดสูบน้ำ และกาลักน้ำมาก่อนจะมีความเข้าใจเชิงวิทยาศษสตร์ และก่อนกาลิเลโอและนิวตันวางรากฐานวิชากลศาสตร์ได้สำเร็จ ศิลปะในการทำเครื่องมือเครื่องใช้ถือว่าเป็นเทคโนโลยี วิธีของเทคโนโลยีในสมัยก่อนคือ ลองทำดูละทดลองใช้ (cut and try ) ด้วยวิธีการต่างๆ เมื่อทำอย่างใดได้ผลดี ก็จดจำวิธีนั้นไว้ใช้ทำต่อไป ไม่ได้อาศัยความเข้าใจทางวิทยาศาสตร์ เช่นเดียวกับช่างตีเหล็ก ลองวิธีต่างๆ จนมีวิธีทำให้เหล็กเป็นเหล็กกล้าและทำใช้เป็นมีดได้ โดยที่ช่างตีเหล็กไม่เข้าใจนักว่าทำไมอย่างนั้นจึงทำให้เหล็กเป็นเหล็กกล้าได้

เป็นการยากที่จะนับว่าการทดลองทางวิทยาศาสตร์ได้เริ่มต้นขึ้นเมื่อใด แต่ผลงานวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ที่เรียนและใช้ในปัจจุบันเกิดขึ้นประมาณ 400 ปีมานี้ วิทยาศาสตร์โดยเฉเพาะฟิสิกส์ได้ค้นพบกฎเกณฑ์และทฤษฎีต่างๆ ที่ทำให้เข้าใจกลไกของธรรมชาติมากขึ้นความรู้ความเข้าใจทางวิทยาศาสตร์จึงมีบทบาทสำคัญต่อความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีเป็นอย่างยิ่ง เนื่องทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์สามารถทำนายผลของการออกแบบหรือวิธีการที่จะกระทำได้ เช่น การทำกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน (electron microscope) ซึ่งขยายได้มากกว่ากล้องจุลทรรศน์ธรรมดา เกิดขึ้นได้จากความเข้าใจสมบัติของอิเล็กตรอนในสนามแม่เหล็ก และสามารถคำนวณได้ก่อนการสร้าง อาจกล่าวได้ว่า วิทยาศาสตร์ช่วยพัฒนาเทคโนโลยี และเทคโนโยลีก็ช่วยสนับสนุนวิทยาศาสตร์เช่นกัน เพราะบางส่วนของเทคโนโลยีมีส่วนในการสร้างเครื่องมือที่ดีขึ้น ทำให้การค้นพบทางวิทยาศาสตร์รวดเร็วขึ้นเช่นกัน ปัจจุบันวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีจึงสัมพันธ์กันมาก ดูเสมือนว่าไม่สามารถแยกออกจากกันได้ และนิยมที่จะพูดถึงวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (Science and Technology) ไปด้วยกันเสมอ เทคโนโลยีสมัยใหม่อยู่บนพื้นฐานความรู้ความเข้าใจทางวิทยาศาสตร์แทบทั้งสิ้น

วิทยาศาสตร์เป็นงานที่ไม่รู้จบ เพราะเป็นงานค้นคว้าหาความจริงของธรรมชาติ ผลงานวิทยาศาสตร์ทำให้เกิดความรู้ความเข้าใจใหม่ๆ เกี่ยวกับธรรมชาติ และเกิดขึ้นต่อๆ ไปได้ทุกเวลาด้วยความพยายามของนักวิทยาศาสตร์ทั่วโลก บางประเทศให้งบประมาณในการวิจัยมากเนื่องจากถือว่าวิทยาศาสตร์นำความก้าวหน้ามาให้ และส่งผลให้ประเทศนั้นๆ มีเทคโนโลยีอยู่ในระดับแนวหน้า การค้นพบและการประยุกต์มีความสัมพันธ์กัน ดังตัวอย่างเช่นความรู้ความเข้าใจเกี่ยวกับเลเซอร์ ทำให้เกิดเทคโนโลยีมากมายที่ใช้เลเซอร์ เช่น การใช้เลเซอร์เป็นคลื่นพาหะในการสื่อสารผ่านเส้นใยนำแสง การใช้เลเซอร์ทางการแพทย์ เช่น การผ่าตัดตา ไฝ หรือ สิว เป็นต้น ในการบึนทึกเสียงจากแผ่นเสียงธรรมดาเป็นแผ่นซีดี ซึ่งเลเซอร์จะบันทึกเป็นรหัสดิจิทัลและอ่านรหัสกลับเป็นเสียง มีผลให้ไม่มีเสียงรบกวนเหมือนการบันทึกลงบนแผ่นเสียงธรรมดา

วิชาฟิสิกส์
วิชาฟิสิกส์ที่นักเรียนจะได้เรียน จะเป็นความรู้ความเข้าใจที่เกิดขึ้น และสะสมกันมาในช่วงเวลา 400 ปี ซึ่งเป็นส่วนพื้นฐานของวิชาที่ได้จัดให้เป็นระบบ เพื่อให้เกิดความสะดวกต่อการเรียนรู้ และในที่สุดเรื่องต่างๆ ที่เรียนจะสัมพันธ์กันทุกเรื่อง การเรียนรู้ที่ดีจะต้องมีความเข้าใจหลักการของเรื่องนั้นๆ จนสามารถนำหลักการไปประยุกต์ได้ การฝึกให้สามารถประยุกต์หลักการกับการทำแบบฝึกหัดหรือโจทย์ปัญหาเป็นส่วนสำคัญอย่างหนึ่งที่นักเรียนควรพยายามคิดด้วยตนเอง ซึ่งจะเป็นการฝึกคิดอย่างนักฟิสิกส์หรืออย่างนักวิทยาศาสตร์ การทำการทดลองนอกจากจะทำให้เรียนรู้ด้วยความเข้าใจแบบเป็นรูปธรรมแล้ว ยังฝึกให้เรียนรู้วิธีทำการทดลองและการวิเคราะห์ผล เพื่อทดลองหรือพิสูจน์ความจริงอย่างมีเหตุผลในลักษณะที่นักวิทยาศาสตร์ปฎิบัติกัน

ปริมาณทางฟิสิกส์ (Physical Quantity) และหน่วย (unit)
ปริมาณทางฟิสิกส์เป็นปริมาณที่สามารถวัดได้ด้วยเครื่องมือโดยตรงหรือโดยอ้อม เป็นปริมาณที่มีความหมายเฉเพาะเจาะจงอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น ปริมาตร มวล น้ำหนัก ความเร็ว ความดัน แรง กระแสไฟฟ้า ความต่างศักย์ไฟฟ้า อุณหภูมิ เป็นต้น ปริมาณเหล่านี้ จะต้องมีหน่วยกำกับจึงจะมีความหมายชัดเจน เช่น ปริมาตร อาจจะมีหน่วยเป็น ลูกบาศก์เซนติเมตร ลูกบาศก์เมตร หรือลูกบาศก์ฟุต และยังมีลิตร ถัง แกลลอนอีก ซึ่งรวมแล้วมีหน่วยได้หลายอย่างที่นิยมใช้ที่ต่างๆ เพื่อให้การใช้หน่วยเป็นมาตรฐานเดียวกันทั่วโลก โดยเฉเพาะในวงการวิทยาศาสตร์ องค์กรระหว่างชาติเพื่อการมาตรฐาน (ISO หรือ International Organization for Standardization ) ได้กำหนดระบบหน่วยมาตรฐานที่เรียกว่า ระบบเอสไอ(SI ตัวย่อของ System International) ให้ทุกประเทศใช้เป็นมาตรฐาน ระบบเอสไอ ประกอบได้สองส่วนใหญ่ คือ หน่วยฐาน (Base Units ) ซึ่งนับเป็นฐานของหน่วยทั้งหลายมี 7 หน่วย ได้แก่ เมตร (meter, m )กิโลกรัม (kilogram, kg ) วินาที (second , s ) โมล (mole , mol ) แคนเดลา (candela, cd ) และ หน่วยอนุพันธ์ (Derived Units ) ซึ่งเป็นหน่วยที่สร้างจากหน่วยฐาน เช่น หน่วยของแรงให้ชื่อว่า นิวตัน (newton, N )ซึ่งเป็นชื่อที่ให้เป็นเกียรติกับเซอร์ ไอแซก นิวตัน โปรดสังเกตว่าเมื่อนำชื่อนักวิทยาศาสตร์มาเป็นหน่วย การเขียนชื่อหน่วยในภาษาอังกฤษจะนำด้วยตัวเล็กธรรมดาให้ต่างจากชื่อคน แต่สัญลักษณ์ย่อของหน่วยใช้ N ตัวใหญ่ หน่วยนิวตันจะเทียบเท่ากับ กิโลกรัม เมตร/(วินาที)2 หรือ kg m/s2  หน่วยของพลังงานให้ใช้หน่วยจูล (joule, J ) ซึ่งเป็นชื่อคนเช่นกัน หน่วยจูลเทียบเท่ากับ นิวตัน เมตร (Nm) หรือเทียบหน่วยฐานคือ กิโลกรัม (เมตร)2/(วินาที)2 หรือ kgm2 /s2 (วิธีการเขียนหน่วยที่ ISO แนะนำและเป็นที่นิยมมีหลายแบบ เช่น kg m2 /s2 อาจเขียนแบบ kgm2 s2 หรือ kg m2 /s-2 ตัวหนังสือนี้จะใช้เว้นหนึ่งช่องแทนการคูณและ / แทนการหารดังที่แสดง )

นอกจากนี้ระบบหน่วยเอสไอยังได้กำหนดตัวนำหน้าหน่วย ( prefix) เพื่อทำให้หน่วยที่ใช้เล็กลงหรือโตได้ และแนะนำให้ใช้เป็นขั้นละ 1,000 เท่า ตัวนำหน้าที่สำคัญมีดังต่อไปนี้

ตัวนำหน้ามาตรฐาน ชื่อภาษาไทย สัญลักษณ์ย่อ ตัวคูณที่เทียบเท่า
femto- เฟมโต f  10-15
pico- พิโก p  10-12
nano- นาโน n  10-9
micro- ไมโคร u  10-6
milli- มิลลิ  M  103
kilo- กิโล  K  103
mega- เมกะ  M  106
giga- จิกะ  G  109
tera- เทระ  T  1012

ตัวอย่างการใช้ตัวนำหน้ากับหน่วย เช่น ความยาวคลื่นของเสงนิยมใช้หน่วย นาโนเมตร(nanometer, nm ) ระยะทางบนถนนควรใช้หน่วย กิโลเมตร (kilometer, km ) เป็นต้น
รายละเอียดเพิ่มเติมสำหรับหน่วยในระบบเอสไอและหน่วยอื่นมีอยู่ในภาคผนวก

การทดลองในวิชาฟิสิกส์
การทดลองในวิชาฟิสิกส์ดังที่จะได้กระทำในบทเรียนต่างๆ ต่อไป แม้จะไม่ใช่ของใหม่การฝึกทำจะเป็นการฝึกฝนวิธีการทำการทดลอง ตามแนวที่เป็นที่ยอมรับในวงการฟิสิกส์ การทำการทดลองถือเป็นส่วนสำคัญในการฝึกทำและคิดหาเหตุผลอย่างวิทยาศาสตร์
เป็นการยากที่จะวางกฎเกณฑ์แน่ชัดสำหรับการทดลองทุกๆอย่าง เนื่องจากในการทดลองแต่ละเรื่อง อาจมีลักษณะเฉเพาะที่ต่างๆกัน อย่างไรก็ตาม ในการทำการทดลองมักจะทำเพื่อตอบคำถามบางอย่างหรือเพื่อหาความจริงบางอย่าง (ซึ่งก็จะเป็นวัตถุประสงค์ของการทดลอง) เพื่อให้ได้คำตอบ ก็ต้องคิดหาวิธีการทดลองที่เหมาะสมและสอดคล้องกับอุปกรณ์ที่มี ทำการทดลองเพื่อให้ได้ข้อมูลต่างๆ วิเคราะห์จากข้อมูลเพื่อสรุปเป็นคำตอบ ขั้นตอนเหล่านี้ดูจะเป็นกรอบที่จำเป็นสำหรับการทดลอง
คำตอบที่เราได้จะเป็นที่น่าเชื่อถือหรือไม่ต่อผู้อื่น เราต้องสามารถแสดงทุกขั้นตอนของการทดลองได้ ดังนั้นจึงการเขียนรายงานการทดลอง โดยยึดหลักการที่ว่า เขียนการทดลองให้ผู้อ่านเข้าใจง่ายที่สุด กะทัดรัดที่สุด มีครบทุกอย่าง โดยเฉเพาะข้อมูลชัดเจน (การมีรูปวาดประกอบและการนำเสนอข้อมูลเป็นตารางช่วยให้ดูง่ายและเป็นที่นิยม) แสดงการวิเคราะห์และการสรุปผล อาจตามด้วยข้อวิจารณ์หรือความคิดเห็นของตนเองเพิ่มเติมไว้เด้วย ทุกคนควรฝึกทำสิ่งเหล่านี้ทุกการทดลอง

ความไม่แน่นอนในการวัด

การวัดปริมาณต่างๆ ด้วยเครื่องมือ ซึ่งจะเป็นข้อมูลของการทดลอง ย่อมไม่สามารถวัดได้อย่างแม่นยำโดยไม่มีขีดจำกัด โดยทั่วไปจะมีความผิดพลาด (error) หรือความคลาดเคลื่อนที่เป็นไปได้อยู่บ้างเสมอ เพียงแต่อาจจะมากหรือน้อยเท่านั้น โอกาสที่จะคลาดเคลื่อนจากความเป็นจริงของปริมาณที่วัดได้ จะมากหรือน้อยขึ้นกับแต่ละสถานการณ์ที่ทำการวัด ขึ้นกับเครื่องมือและวิธีการที่ใช้วัดรวมทั้งยังขึ้นกับความสามารถและประสบการณ์ของผู้วัดด้วย สรุปว่าแต่ละปริมาณที่ทำการวัดโดยตรง A ย่อมมีปริมาณ \pm \Delta A ซึ่งเป็นโอกาสผิดพลาดของ A ที่เป็นไปได้ ( โดยมีความเชื่อมั่นเกือบ 100 % ว่าผลที่ถูกต้องอยู่ภายใน A \pm \Delta A  )
ความคลาดเคลื่อนของผลการทดลองที่มาจากการวัดหลายปริมาณ เช่น จากปริมาณ A B และ C
โดยที่ทุกปริมาณมีค่าบวกลบ ผลการทดลองย่อมมีความคลาดเคลื่อนอยู่ด้วยจะมากน้อยเท่าใดสามารถคำนวณจากค่า  \pm ของค่า A B และ C นั่นเอง
กรณีที่ผลลัพธ์มาจากการบวกลบ เช่น R = A+2B

อาจพิสูจน์ได้ว่า \Delta R = \Delta A + 2\Delta B
ถ้า R = A – 3C จะได้ว่า \Delta R = \Delta A + 3\Delta B                                                                  (1.1)
กรณีที่ผลลัพธ์มาจากการคูณหาร เช่น R = AB/\sqrt C
อาจพิสูจน์ได้ว่า  \frac{{\Delta R}}{R} = \frac{{\Delta A}}{A} + \frac{{\Delta B}}{B} + \frac{1}{2}\frac{{\Delta C}}{C}                                                               (1.2)
หรือถ้า R = AB^2จะได้ \frac{{\Delta R}}{R} = \frac{{\Delta A}}{A} + 2\frac{{\Delta B}}{B}

สังเกตได้ว่า จากสมการ (1.2) เปอร์เวนต์ความคลาดเคลื่อนของผลลัพธ์จากการคูณหรือหาร สามารถคิดจากเปอร์เซนต์ของความคลาดเคลื่อนของแต่ละตัวมาบวกกัน แต่กรณีบวกลบ ความคลาดเคลื่อนของผลลัพธ์ต้องคิดจากปริมาณความคลาดเคลื่อนจริงมาบวกกัน ( ไม่มีลบกันเนื่องจากความคลาดเคลื่อนอาจเป็นบวกหรือลบอยู่ ไม่อาจทราบได้ )
การคิดโอกาสผิดพลาดของผลลัพธ์ดังวิธีข้างบน เป็นวิธีง่ายๆ ใช้ได้ในความหมายที่เป็นความผิดพลาดอย่างมากที่เป็นไปได้ แต่ไม่ถึงกับถูกต้องในเชิงสถิติ การผิดพลาดของค่าที่วัดค่าใดค่าหนึ่ง มีโอกาสจะเป็นไปตามธรรมชาติคือ เป็นไปแบบสุ่ม (random) ซึ่งโอกาสผิดพลาดของการวัดหลายๆครั้ง แต่ละครั้งจะผิดพลาดไปจากค่าจริง และผิดไปทั้งสองข้างของค่าจริงอย่างสมมาตรกัน ตามทฤษฎีทางสถิติจะมีการแจกแจงเป็นกราฟรูประฆังคว่ำ หรือแบบเกาส์เซียน (Gaussian Distribution) ดังรูปที่ 1-1 โดยมีจุดยอดอยู่ตรงค่าเฉลี่ย

รูป 1.1 กราฟาการแจกแจงแบบเกาส์เซียน


การผิดพลาดมักบอกเทียบกับค่าๆหนึ่ง เรียกว่า ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( Standard deviation, S.D.) 67% ของจำนวนทั้งหมดของการวัดจะตกอยู่ภายในค่าเฉลี่ย \pm 1S.D. และ 95 % ของจำนวนทั้งหมดของการวัดจะตกอยู่ภายในค่าเฉลี่ยนั้น \pm 2S.D. ดังนั้นค่าผิดพลาดของปริมาณต่างๆ อาจจะทำได้จากการวัดปริมาณนั้นหลายๆครั้ง แล้วหาค่าเฉลี่ยและ S.D. โดยใช้ค่า S.D เป็นค่า \pmของปริมาณนั้น เมื่อเป็นเช่นนี้ ค่าผลลัพธ์ R จะมีค่า \pm \Delta R ซึ่งมีค่าเท่าใดจึงจะมีความหมายเชิงสถิติเช่นเดียวกับโอกาสผิดพลาดของแต่ละค่า ผลการพิสูจณ์ดชิงคณิตศาสตร์จะได้ว่า

กรณีที่ผลลัพธ์มาจากการบวกลบ R = A + 2B พิสูจณ์ได้ว่า
\Delta R=\sqrt {(\Delta A)^2 + 4(\Delta B)^2 }                                  (1.3)
กรณีที่ผลลัพธ์มาจากการคูณหาร เช่น R = AB/\sqrt C พิสูจน์ได้ว่า
\frac{{\Delta R}}{R} = \sqrt {(\frac{{\Delta A^2 }}{A}) + (\frac{{\Delta B^2 }}{B}) + (\frac{{\Delta C^2 }}{C})}                                                                                               (1.4)
สิ่งที่เป็นประโยชน์จากสมการ (1.4) คือ ถ้าปริมาณ  A = B^2 จะได้  \frac{{\Delta A}}{A} = \sqrt {(2\frac{{\Delta B}}{B})^2 }  หรือ2\frac{{\Delta B}}{B}ซึ่งเห็นได้ว่าการคิดเชิงสถิติ ได้ผลเช่นเดียวกับการคิดธรรมดาจากสมการ (1.2)
สำหรับค่าที่เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์บางอย่าง เช่น  x = A\sin \theta เมื่อค่า\theta มีค่าบวกลบ ค่า X จะมีค่าบวกลบประมาณเท่าใดอาจหาได้โดยวิธีตรงไปตรงมาคือ ลองแทนค่าของ \theta  อย่างมากและค่าอย่างน้อยลงไปแล้วดูว่า X เปลี่ยนแปลงได้เท่าใด
สรุปว่า หากจะคิดโอกาสผิดพลาดของผลการทดลองอย่างง่ายๆ ก็คิดจากสมการ (1.1) และ (1.2) ซึ่งใช้ได้ดีพอควรในการใช้ขอบเขตของการผิดพลาด แต่หากจะจริงจังให้ถูกต้องเชิงสถิติ ก็ต้องคิดตามสมการ (1.3) และ (1.4) ในการทดลองต่างๆ ที่จะทำ อาจลองคิดเปรียบเทียบดูทั้งสองวิธี ถึงแม้ตัวเลขของผลที่ได้จะต่างกัน โดกาสผิดพลาดของแต่ละปริมาณเป็นการประมาณอยู่แล้ว จึงอาจจะมองว่าทั้งสองวิธีทำให้เราตระหนักว่า ผลการทดลองสุดท้ายมีโอกาสผิดพลาดได้เท่าใด

เลขนัยสำคัญ (Significant Figure)

เลขนัยสำคัญ หรือ Significant Figure ก็คือตัวเลขที่มีความหมายหรือมีความสำคัญในปริมาณที่แสดงมา เช่น บอกว่าขณะนี้มีลูกหนี้เป็นหนี้อยู่ 1,250 บาท เลข 1 หรือตัวหน้าสุดของปริมาณมีความสำคัญหรือมีความหมายมากที่สุด ถ้าตัวเลขนี้ผิดไปความหมายจะผิดไปมากตัวเลข 2 หรือหลักที่สองมีความหมายรองลงมา ตัวเลข 5 หรือหลักที่สามก็มีความหมายลดลงไปอีกแต่ยังมีความหมาย ตัวเลข 0 ถัดไปหรือหลักที่สี่ สำหรับกรณีนี้ไม่ชัดเจนว่าจะมีความหมายหรือไม่ ขึ้นกับว่าเจ้าหนี้คิดปริมาณนี้จริงจังเพียงใด หากว่าไม่ยอมให้ผิดไปสักบาทเดียวก็ถือว่า เลขตัวนี้มีความหมายและนับได้ว่าปริมาณนี้มีจำนวนเลขนัยสำคัญ 4 ตัว หากไม่คิดความสำคัญของเลขตัวท้ายนี้ (เฉเพาะเป็นเลข 0 ) ก็ถือว่ามีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว มีวิธีเขียนตัวเลขนี้แบบตัวเลขทางวิทยาศาสตร์ ที่ให้มีจำนวนเลขนัยสำคัญที่ชัดเจนคือ 1.25 * 10บาท ซึ่งแสดงจำนวนเลขนัยสำคัญ 3 ตัว และ 1.250 * 103 บาท ซึ่งแสดงจำนวนเลขนัยสำคัญ4 ตัว หรือหากเขียน 1,250.00 บาท จะหมายถึงจำนวนเลขนัยสำคัญ 6 ตัว ผิดไปหนึ่งสตางค์ไม่ได้ ถ้าผิดไปน้อยกว่าครึ่งสตางค์พอได้ ( กรณีเป็นหนี้ธนาคาร )

ตัวเลขเช่น C.012 kg ถือว่ามีเลขนัยสำคัญ 2 ตัว ซึ่งเท่ากับ 12 กรัม แต่ 0.0120 kg จะมีจำนวนเลขนัยสำคัญ 3 ตัว หมายถึง 12.0 กรัม การเขียน 12 กรัม กับ 12.0 กรัม มีความหมายต่างกัน 12.0 กรัม หมายถึงผิดได้ไม่เกิน 0.05 กรัม แต่ 12 กรัมอาจจะผิดได้ 0.5 กรัม

ดังนั้นในการทดลองปริมาณทุกปริมาณควรบันทึกด้วยจำนวนเลขนัยสำคัญที่เหมาะสม ความละเอียดของตัวเลขควรมากกว่าค่าโอกาสผิดพลาด แต่ไม่ควรมากเกินไป คือไม่เกินตัวเลขที่อาจผิดอยู่แล้วถึงสองหรือสามตัว (โอกาสผิดพลาดอาจแสดงด้วยตัวเลขหนึ่งตัวหรืออย่างมากสองตัว )

การบันทึกข้อมูล

การบันทึกข้อมูลที่จะให้กะทัดรัด ชัดเจน อ่านเข้าใจง่าย ขึ้นกับข้อมูลที่สำคัญสำหรับการทดลองนั้นๆ หากเป็นไปได้หรือเหมาะสม มักจะนำเสนอในรูปของตารางซึ่งมีหัวของช่องชัดเจน ว่ามีปริมาณอะไร ในหน่วยอะไร ในบางปริมาณที่ต้องการความแน่นอนที่เชื่อถือได้ควรวัด 3 ครั้ง หรือ 5 ครั้งแล้วหาค่าเฉลี่ย ซึ่งการทำหลายๆครั้งอาจใช้เครื่องคิดเลขบางแบบคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( S.D. ) ได้ด้วย ควรเริ่มด้วยช่แงสดมภ์ ( column ) ที่เป็นตัวแปรต้นที่จะวัดโดยตรง ตามด้วยตัวแปรตามที่วัดได้โดยตรง ซึ่งสามารถบันทึกตัวลงไปทันทีที่วัดได้แล้วจึงเพิ่มช่องต่อๆ ไปที่หาได้จากช่องแรกๆ จนได้ช่องของปริมาณที่จะใช้ในการวิเคราะห์โดยเฉเพาะที่จะใช้เขียนกราฟ

นอกจากส่วนที่ทำการวัดที่สำคัญ ข้อมูลของการทดลองควรมีข้อมูลประกอบ ซึ่งบางครั้งมีความหมายหรือมีความเกี่ยวข้องต่อผลการทดลองด้วย เช่น ทำการทดลองเมื่อใด สภาพแวดล้อมเป็นอย่างไร เช่น อุณหภูมิ ความดันบรรยากาศ ความชื้นสัมพันธ์ ฯลฯ

การวิเคราะห์ผลการทดลอง

ใช้การพิจารณาจากข้อมูลรวมทั้งการใช้การคำนวณตามความเหมาะสม เมื่อได้ผลสรุปที่เป็นปริมาณ ควรแสดงโอกาสผิดพลาดได้ของปริมาณนั้นด้วย การใช้การฟเส้นตรงช่วยในการวิเคราะห์ โดยเฉลี่ยเพื่อหาเพื่อพิสูจณ์ความสัมพันธ์ระหว่างสองปริมาณที่เป็นปฎิภาคกันกราฟเส้นตรงใช้ดูการเปลี่ยนแปลงได้แต่ไม่สามารถพิสูจณ์ความสัมพันธ์ได้ชัดเจน
สมการทางคณิตศาสตร์ของกราฟเส้นตรงจะอยู่ในรูป y = mx + c เมื่อ m คือความชัน หรือ slope และ c คือ จุดตัดแกน y กราฟเป็นดังรูป 1.2

รูป 1.2 กราฟเส้นตรงผ่านจุดทดลอง m = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} </b>

ในการทดลองเราอาจให้ y และ x แทนปริมาณเป็นกำลังสองหรือรากที่สองของบางปริมาณก็ได้
เส้นกราฟที่วางให้ดีเทียบกับจุดทดลองซึ่งแต่ละจุดมีค่าบวกลบ จะมีความเป็นไปได้ที่ความชันของเส้นกราฟจะมีค่าบวกลบขนาดหนึ่งได้ คือ เส้นกราฟสามารถเอียงต่างๆ โดยยังผ่านทุกจุดได้ดี ซึ่งต้องพิจารณาจากจุดข้อมูลต่างๆด้วย

ตัวอย่างการทดลอง เรื่อง ลูกตุ้มอย่างง่าย
สมมติว่านักเรียนจะทำการทดลอง เพื่อศึกษา ( วัตถุประสงค์ของการทดลอง ) ความสัมพันธ์ระหว่างคาบของการแกว่งกับความยาวของสายของลูกตุ้ม ( ลูกตุ้มอย่างง่าย หมายถึงมวลขนาดเล็ก ประมาณได้ว่าเป็นจุด แขวนด้วยเชือก จากจุดๆหนึ่ง ลูกตุ้มจะแกว่งไปมาในระนาบดิ่งได้ )
ตัวแปรสำคัญที่ต้องการวัด คือ ความยาวของเชือกที่แขวนลูกตุ้มและคาบ หรือเวลาที่แกว่งครบรอบ
ก่อนทดลองควรตระหนักว่า ความยาวของเชือกสามารถวัดได้โดยใช้ไม้เมตร หรือไม้บรรทัด ส่วนคาบจะวัดได้ยากกว่าโดยใช้นาฬิกาจับเวลา หรือนาฬิกาข้อมือที่มีเข็มวินาทีถ้าพยายามจับเวลาเพียงรอบเดียวหรือสองสามรอบ ค่าที่ได้จะผิดพลาดได้มาก วิธีที่ดีขึ้นคือควรจับเวลาหลายรอบ เช่น 30 รอบ ชนิดที่เวลารรวมที่จับเวลาอย่างน้อยเป็น 10 – 20 วินาทีซึ่งหากผิดไป 1 หรือ 2 วินาที ( กรีณีใช้นาฬิกาข้อมือซึ่งเข็มเลื่อนครั้งละ 1 วินาที ) ผลเฉลี่ยก็จะให้ค่าละเอียดพอ ควรวัดคาบ 3 ครั้ง สำหรับแต่ละความยาว แล้วเฉลี่ยเพื่อประกันความผิดพลาด เช่น นับรอบผิด ดูเวลาผิด
การบันทึกข้อมูล ควรวางแผนให้เป็นตาราง เป็นระเบียบ ดูง่าย กะทัดรัด ดังต่อไปนี้

ความยาวCM     เวลา 30 รอบ (s) คาบ (T)(s) T2\ (s^2)
 ครั้งที่ 1  ครั้งที่ 2  ครั้งที่ 3  ครั้งที่ 4

เปลี่ยนค่าความยาวเป็นค่าต่างๆ เช่น เริ่มจากประมาณ 25 เซนติเมตร เพิ่มทีละประมาณ 5 เซนติเมตร ทั้งหมดประมาณ 5 ค่า โดยไม่ต้องทำให้ความยาวเป็นเลขลงตัว ซึ่งจะทำให้ช้าและควรจะวัดความยาวให้ผิดพลาดไม่เกิน 1 มิลลิเมตร หรือละเอียดเท่าที่กระทำได้
หลังจากได้ข้อมูลเรียบร้อย ลองเขียนกราฟระหว่าง คาบ ( แกนตั้ง) ละความยาว (แกนนอน) โดยแบ่งสเกลกำกับให้เหมาะสมชนิดที่ได้กราฟโตเกือบเต็มกระดาษกราฟ และเขียนสเกลกำกับให้ชัดเจน กำหนดจุดจากข้อมูลลงบนกราฟ โดยการจุดและวงรอบจุดให้เห็นได้ชัดแล้วลากเส้นโค้งเรียบผ่านแนวจุดต่างๆ ตามที่คิดว่าควรจะเป็น กรณีนี้ เส้นกราฟเป็นเส้นโค้ง ( ไม่เป็นเส้นตรง) เส้นกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างคาบและความยาว ว่าคาบขึ้นอยู่กับความยาวอย่างไร
การสำรวจความสัมพันธ์จะสมบูรณ์ขึ้น โดยเพิ่มช่อง (คาบ) ^2  แล้วเขียนกราฟระหว่าง (คาบ) ^2 กับความยาว หรือสำรวจความสำพันธ์คู่อื่นๆ ซึ่งจะพบว่า กราฟระหว่าง(คาบ) ^2 กับความยาวในกราฟเส้นตรงและผ่านศูนย์ ซึ่งแสดงความเป็นปฎิภาคโดยตรงซึ่งกันและกัน
การทดลองดังได้กล่าวมา อาจทำการทดลองในเชิงสำรวจ หาความสัมพันธ์โดยไม่ทราบทฤษฎีมาก่อน

ตัวอย่างการบันทึกผลการทดลอง
การทดลองเรื่อง     ลูกตุ้มอย่างง่าย
วัตถุประสงค์           เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ของคาบและความยาวของลูกตุ้ม
อุปกรณ์              –    ลูกตุ้มอย่างง่ายทำด้วยนอตเส้นผ่าศูนย์กลาง 2.0 เซนติเมตร 1   ตัวผูกด้วยสายเอ็นยาวประมาณ 1 เมตร
–  ไม้หนีบแบบไม้หนีบแขวนเสื้อผ้า
–  นาฬิกาข้อมือ ( มีเข็มวินาที )
–  ไม้เมตร

วิธีการทดลอง
ยึดลูกตุ้มด้วยไม้หนีบแขวนเสื้อวางบนหนังสือหนา 2 -3 เล่มบนขอบโต๊ะ ให้สายลูกตุ้มพ้นขอบโต๊ะ และยึดไม้แขวนไม่ให้เลื่อนด้วยเทปกระดาษย่นแกว่งลูกตุ้มและจับเวลาด้วยนาฬิกาข้อมือจากเข็มวินาที โดยรอให้เข็มวินาทีถึงที่หมาย เช่น เลข 12 พร้อมกับดูตำแหน่ง 0 รอบ นับต่อไปจนครบ 30 รอบ พร้อมดูเข็มวินาทีของนาฬิกาแต่ละค่าของความยาวของสายเอ็น จนจับเวลา 30 รอบ สามครั้งหาค่าเฉลี่ย แล้วจึงหาคาบ

รูป 1.3 ลูกตุ้มอย่างง่าย
ข้อมูล


ความยาวของลูกตุ้ม (\ell ) = ความยาวสายเอ็น + 1.0 เซนติเมตร ( ความยาวจากจุดแขวนถึงจุดศูนย์กลางของลูกตุ้ม )

ความยาวสาย \ell(cm ) เวลา 30 รอบ ( s ) คาบ  T( s )  T^2 (s^2 )  \Delta (T^2 ) (s^2 )
ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 ครั้งที่ 3 ครั้งที่ 4
30.5 34 34 34 34.3 1.14 1.30 0.07
41.6 39 39 39 39.0 1.30 1.69 0.08
49.4 43 43 42 42.7 1.42 2.02 0.08
57.1 46 46 46 16.0 1.53 2.34 0.09
67.1 51 50 50 50.3 1.68 2.82 0.10
81.0 54 55 55 54.7 1.82 3.31 0.11

ความคลาดเคลื่อน – ในการวัดความยาวสายเอ็นด้วยไม้เมตรประมาณ  \pm 0.2 เซนติเมตร
– ค่าเฉลี่ยของการวัดเวลา 30 รอบ ประมาณ  &nbsp; \pm 1 วินาที ( เข็มเดินทุก 1 วินาที)
ดังนั้น ความคลาดเคลื่อนของคาบเฉลี่ยประมาณ   = [tex]\pm 1[/tex]   วินาที
=   \pm 0.03 วินาที