การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

          โพรเจกไทล์ (projectile) ในภาษาอังกฤษหมายถึงวัตถุที่ขว้างหรือยิงออกไป เช่น  ก้อนหินที่ถูกขว้างออกไปหรือลูกกระสุนที่ถูกยิงออกไป  ทั้งนี้ในบริเวณใกล้ผิวโลกตามปกติการเคลื่อนที่ของวัตถุดังกล่าวจะสังเกตได้ว่ามีวิถีโค้ง แต่จะโค้งอย่างใดโดยละเอียดและทำไมจึงโค้งเช่นนั้นจะได้ศึกษากันต่อไป  การเคลื่อนที่ตามรูปแบบที่วัตถุดังกล่าวเคลื่อนที่ไป โดยเฉพาะเมื่อไม่มีแรงต้านทานของอากาศหรือแรงต้านทานมีผลน้อยจนไม่ต้องนำมาคิด  จะเรียกว่า การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (projectile motion)  ในกรณีที่แรงต้านทานของอากาศมีผลต่อการเคลื่อนที่เนื่องจากวัตถุเบา หรือเนื่องจากเคลื่อนที่เร็วและมีการหมุน วิถีการเคลื่อนที่จะแตกต่างออกไปจากการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์และไม่นับเป็นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์  เช่น  การเคลื่อนที่ของลูกแบดมินตัน  ลูกกอล์ฟ ลูกฟุตบอลที่หมุน ฯลฯ

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็นการเคลื่อนที่ใน  2  มิติ  คือเคลื่อนที่ในแนวระดับและแนวดิ่งพร้อมกัน  ในแนวดิ่งเป็นการเคลื่อนที่ที่มีความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก  (ซึ่งสม่ำเสมอในบริเวณใกล้ผิวโลก)  ในขณะที่การเคลื่อนที่ในแนวราบไม่มีความเร่งเพราะไม่มีแรงกระทำในแนวระดับ  ทำให้เส้นทางการเคลื่อนที่เป็นแนวโค้ง  เส้นทางการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์จะมีลักษณะเป็นเส้นโค้งแบบพาราโบลา  เราสามารถศึกษาแนวการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ได้ดังการทดลอง  4.1  ท้ายบทนี้


รูป  4.1  เส้นทางการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

จากการทดลองให้ลูกกลมโลหะกลิ้งลงมาตามรางเข้าชนเป้า  และทำเครื่องหมายบนกระดาษกราฟให้ตรงกับจุดที่ลูกกลมกระทบเป้า  ถ้าเลื่อนเป้าไปหลายตำแหน่ง แล้วลากเส้นผ่านจุดบนกระดาษกราฟ  จะได้เส้นทางการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ของลูกกลมโลหะ  อุปกรณ์ดังแสดงในรูป  4.2


รูป  4.2  เครื่องมือสำหรับหาแนวการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

ถ้ากำหนดให้จุดแรกของการชนบนกรดาษกราฟเป็นจุดกำเนิดของแกน  x  และ แกน  y  ดังรูป  4.2  วัดการกระจัด  x  ในแนวระดับ  และการกระจัด  y  ในแนวดิ่งของจุดต่างๆ  แล้วเขียนกราฟระหว่าง  y  กับx_2  ซึ่งจะได้กราฟเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด

ดังนั้น   y\alpha x^2   หรือ    y = kx^2  เมื่อ  k เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

เนื่องจาก  รูปสมการ   y=kx_2 เป็นสมการพาราโบลา  แสดงว่าแนวการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีแนวการเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งพาราโบลา  โดยมีการกระจัดทั้งแนวดิ่งและแนวระดับพร้อมกัน

จะเห็นว่าการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีทั้งการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งและแนวระดับพร้อมกัน  การเคลื่อนที่ทั้งสองแนวมีความสัมพันธ์กันอย่างไร  และโพรเจกไทล์เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over g} เช่นเดียวกับวัตถุแบบเสรีหรือไม่  ให้ศึกษาจากกิจกรรมต่อไปนี้


รูป  4.3   การวางเหรียญที่ขอบโต๊ะและบนไม้บรรทัด

          นำเหรียญขนาดเท่ากันมา  2  เหรียญโดยวางเหรียญแรกไว้ที่ขอบโต๊ะ  อีกเหรียณหนึ่งวางบนไม้บรรทัดที่วางราบและยื่นออกนอกขอบโต๊ะดังรูป  4.3  ใช้มือหนึ่งกดไม้บรรทัดที่อยู่บนโต๊ะ  อีกมือหนึ่งจับไม้บรรทัดอีกอันหนึ่งให้อยู่ในแนวดิ่ง  ใช้สันไม้บรรทัดในแนวดิ่งเคาะที่สันไม้บรรทัดที่วางอยู่บนโต๊ะ  ให้เคลื่อนที่ไปในแนวระดับอย่างรวดเร็ว ทำให้เหรียญบนไม้บรรทัดตกแบบเสรี  และเหรียญที่วางบนโต๊ะเคลื่อนที่ออกไปในแนวระดับจากขอบโต๊ะ ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ดังรูป  4.4  ฟังเสียงที่เหรียญทั้งสองตกกระทบพื้นว่าพร้อมกันหรือไม่  อาจทำซ้ำโดยใช้ความเร็วในการปัดไม้บรรทัดขนาดต่างๆ กัน  จะพบว่าเหรียญทั้งสองตกถึงพื้นพร้อมกันจนได้ยินเป็นเสียงเดียวหรือเกือบเป็นเสียงเดียวซึ่งเวลาที่แตกต่างกันน้อยมาก


รูป  4.4  เหรียญตกแบบเสรีและเหรียญเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์  

เหรียญบนโต๊ะที่ถูกปัดด้วยขนาดของแรงไม่เท่ากัน เหรียญหนึ่งจะมีความเร็วเริ่มต้นในแนวระดับต่างกันเหรียญที่มีความเร็วในแนวระดับมาก จะตกถึงพื้นในระยะทางไกลกว่าเหรียญที่มีความเร็วในเร็วระดับน้อยกว่า  สำหรับเวลาในการเคลื่อนที่  พบว่าเหรียญที่ตกในแนวดิ่งแบบเสรี  และเหรียญที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ตกถึงพื้นพร้อมกันทุกกรณี  แสดงว่าช่วงเวลาที่ใช้ในการตกถึงพื้นของเหรียญที่ตกในแนวดิ่งแบบเสรีกับเหรียญที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีค่าเท่ากัน  ทำให้สรุปได้ว่า  การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์  เป็นเช่นเดียวกับการตกในแนวดิ่งและไม่ขึ้นกับความเร็วในแนวระดับของโปรเจกไทล์

ต่อไปทดลองเช่นเดิมแต่โดยเปลี่ยนความสูงของโต๊ะ  เวลาที่เหรียญตกถึงพื้นจะเปลี่ยนไป  แต่เหรียญทั้งสองก็ยังคงตกถึงพื้นพร้อมกันเช่นเดิม  สรุปได้ว่าเหรียญที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จะเคลื่อนที่ตัวด้วยความเร่ง  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over g}  เช่นเดียวกับเหรียญที่ตกแบบเสรี และแสดงว่าการเคลื่อนที่ในแนวระดับไม่มีผลต่อการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง หรือกล่าวว่าการเคลื่อนที่ทั้งสองแนวเป็นอิสระต่อกัน
สรุปได้ว่า   วัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์  มีการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งและแนวระดับพร้อมๆ กัน การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเป็นการเคลื่อนที่เป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงตัว  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over g} ส่วนการเคลื่อนที่ในแนวระดับเป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวเพราะไม่มีแรงลัพธ์ในแนวระดับกระทำ   ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์  เราสามารถพิจารณาการเคลื่อนที่ทั้งสองแนวแยกจากกันได้

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวระดับ
การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ของวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้นในแนวระดับ จะมีเส้นทางเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งพาราโบลา  ดังรูป  4.5  และเคลื่อนที่ด้วยความเร็วในแนวระดับคงตัวตลอดเวลาเพราะไม่มีความเร่งในแนวนี้


รูป  4.5  การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ด้วยความเร็วต้นในแนวระดับ

จากรูป  4.5  ให้แกน  x  เป็นแนวการเคลื่อนที่วัตถุตามแนวระดับ  แกน  y  เป็นแนวการเคลื่อนที่ของวัตถุตามแนวดิ่ง v_x เป็นความเร็วชองวัตถุในแนวระดับซึ่งมีค่าคงตัวถ้าให้วัตถุอยู่ที่ตำแหน่ง   B  เมื่อเวลาผ่านไป  t  จะได้การกระจัดในแนวระดับเป็น
s_x = v_x t                              (4.1)

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวดิ่ง
จากรูป  4.5  เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง  ซึ่งเป็นการตกแบบเสรี  วัตถุ จะเคลื่อนที่ลงด้วยความเร่ง  g  ความเร็วของวัตถุในแนวดิ่งที่ตำแหน่ง  A,B,C  จึงไม่เท่ากัน  เราสามารถหาความเร็วในแนวดิ่ง  ที่ตำแหน่ง  B  คือ  v_y ได้จากสมการ v = u + at และเนื่องจากความเร็วในตอนเริ่มต้นการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเป็นศูนย์  จึงได้
.v_y=gt
ส่วนการกระจัดในแนวดิ่งที่ตำแหน่ง  B คือ  S_y หาได้จากสมการs = ut + \frac{1}{2}at^2เป็น
S_y = \frac{1}{2}gt^2                                       (4.2)

ตัวอย่าง  4.1    ถ้าถือปืนที่ยิงด้วยแรงอัดของสปริงเล็งไปยังเป้า  โดยให้ลำกล้องปืนขนานกับพื้นและสูงจากพื้น  6.0  เมตร  ส่วนปากลำกล้องปืนห่างจากเป้า  4.0  เมตร  เมื่อทำการยิงลูกปืนที่ออกจากปากลำกล้องปืนด้วยความเร็ว  5.0  เมตรต่อวินาที  ในขณะเดียวกันเป้าตกแบบเสรีสู่พื้น  ขณะลูกกลมเหล็กกระทบเป้า เป้าอยู่สูงจากพื้นเท่าใด


รูป  4.6  ยิงเป้าขณะตกแบบเสรี

วิธีทำ
สมมติลูกเหล็กกระทบเป้าเมื่อเป้าตกลงมาถึงระดับที่สูงจากพื้น  h  เมตร   เวลาที่ลูกเหล็กเคลื่อนที่ในแนวระดับในตระยะทาง  4.0  เมตร  ด้วยความเร็วคงตัวที่ได้ระยะทางนั้น
ระยะ              =           อัตราเร็ว  x  เวลาที่เคลื่อนที่ได้ระยะทางนั้น
แทนค่าจะได้          4.0    m               =            (5.0   m/s)     t
T                =            0.8    s
เนื่องจากลูกเหล็กและเป้าต่างใช้เวลาเท่ากันในการเคลื่อนที่จากระดับความสูงเดียวกันลงสู่ตำแหน่งที่ระดับความสูงเดียวกัน  ซึ่งในที่นี้คือ  0.8  วินาที  ดังนั้นในขณะที่ทั้งสองเคลื่อนที่มากระทบกันจะหาระยะที่ลูกเหล็กตกลงมาในเวลา   0.8  วินาทีได้จาก   s = ut + \frac{1}{2}at^2
(6.0 – h ) m            =    0+\frac{1}{2} \times(9.8m/s^2 ) \times (0.8s)^2
=   3.1    m
ขณะลูกเหล็กกระทบเป้า   ความสูงของเป้าจากพื้นคือ  h     =    6.0   m  –  3.1  m    =   2.9   m
คำตอบ   เป้าอยู่สูงจากพื้น   2.9  เมตรขณะลูกเหล็กกระทบเป้า

ระยะทางแนวระดับของโพรเจกไทล์

การวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ที่ผ่านมานั้น  วัตถุเริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้นในแนวระดับ  ต่อไปจะศึกษาการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ที่มีความเร็วต้นของวัตถุอยู่ในทิศทำมุมกับแนวระดับดังที่เห็นในการพุ่งแหลน  การทุ่มน้ำหนัก  เป็นต้น


รูป  4.7  เคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้นในทิศทำมุม \thetaกับแนวระดับ

ในวัตถุเคลื่อนที่ออกจากจุดกำเนิดของระบบแกนมุมฉาก  x , y  ด้วยความเร็วต้น  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over u} ในทิศทำมุม  \thetaกับแกน  x  หรือพื้นระดับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นี้เป็นแนวการเคลื่อนที่แบบโค้งพาราโบลาคว่ำ  ดังรูป  4.7  การวิเคราะห์การเคลื่อนที่ในลักษณะนี้จะแยกแกเป็นการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งด้วยความเร่งคงตัว   \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over g} และการเคลื่อนที่ในแนวระดับด้วยความเร็วคงตัว

การเคลื่อนที่ในแนวระดับ  วัตถุจะเคลื่อนที่ในแนวระดับด้วยความเร็วคงตัว  u\cos \thetaซึ่งเป็นความเร็วองค์ประกอบของ   \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over u} ในแนวระดับ  ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ได้การกระจัดในแนวระดับ S_x ในแนว  t  จะได้

S_x = (u\cos \theta )t
การเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง  ในการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งจะมีปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ทั้งทิศขึ้นและลงในแนวดิ่ง  ดังนั้น  จึงกำหนดให้ปริมาณที่มีทิศขึ้นในแนวดิ่งมีเครื่องหมาย  +  และปริมาณที่มีทิศลงในแนวดิ่งมีเครื่องหมาย  –
พิจารณาช่วงเวลา  t  ที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นจนกระทั่งตกถึงพื้นระดับโดยการเคลื่อนที่มีความเร็วต้นเป็น  + u\sin \thetaและความเร่ง – g และเนื่องจากจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของการเคลื่อนที่อยู่ในระดับเดียวกันจึงได้การกระจัดเป็นศูนย์  ดังนั้นจาก  s = ut + \frac{1}{2}at^2
จะได้              S_y = \left( {u\sin \theta } \right)t - \frac{1}{2}gt^2
แทนค่า  S_y เป็นศูนย์ได้  t           \frac{{2u\sin \theta }}{g}
ช่วงเวลา  t = \frac{{2u\sin \theta }}{g}นี้เป็นช่วงเวลาเดียวกันกับช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ในแนวระดับจากจุดเริ่มต้นถึงจุดสุดท้าย    ดังนั้นระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในแนวระดับ<b>จากเริ่มต้นจนตกถึงพื้นระดับเดิม หรือ ระยะตก (range)</b> ของวัตถุจะเป็น
S_x = \left( {u\cos \theta } \right)t
S_x = \left( {u\cos \theta } \right)\left( {\frac{{2u\sin \theta }}{g}} \right)
S_x = \left( {\frac{{u^2 }}{g}\sin 2\theta } \right)                                         (4.3)
นั่นคือ  ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ในแนวระดับหรือขนาดการกระจัดของวัตถุในแนวระดับ S_x สำหรับขนาดความเร็วต้นค่าหนึ่งๆ จะขึ้นอยู่กับมุม \thetaซึ่งเป็นมุมที่ความเร็วต้นทำกับแนวระดับ  <b>มุมที่ทำให้  S_x มีค่าได้สูงสุดคือเมื่อ  \sin 2\thetaมีค่าสูงสุดคือ  1  และได้  \theta = 45^\circ</b>
ตัวอย่าง  4.2   การแข่งขันทุ่มน้ำหนัก  นักกีฬาคนหนึ่งทุ่มลูกน้ำหนักด้วยความเร็วต้น  10  เมตรต่อวินาที  ในทิศทำมุม  42  องศากับพื้น  ลูกน้ำหนักจะขึ้นไปสูงสุดจากพื้นเท่าใด  และตกห่างจากจุดเริ่มต้นกี่เมตรในแนวระดับ  ถ้าลูกน้ำหนักเคลื่อนที่ออกจากมือนักกีฬาในขณะอยู่สูงจากพื้น  1.80  เมตร กำหนด  \sin 42^\circ = 0.669 และ \cos 42^\circ = 0.743

วิธีทำ  แยกแนวการเคลื่อนที่ของลูกน้ำหนักเป็นแนวระดับและแนวดิ่ง  โดยความเร็วในแนวระดับมีค่าคงตัวเท่ากับความเร็วองค์ประกอบในแนวระดับของความเร็วต้นและความเร็วเริ่มต้นในแนวดิ่งเท่ากับความเร็วองค์ประกอบในแนวดิ่งของความเร็วต้นที่มีค่า  10  m/s


รูป  4.8  แสดงแนวทางการเคลื่อนที่ของลูกน้ำหนัก

การเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
กำหนดปริมาณที่มีทิศในแนวดิ่งขึ้นเป็น  +  และแนวดิ่งลงเป็น  –  และให้ระยะสูงสุดของลูกน้ำหนักเมื่อเทียบกับระดับเริ่มต้นเคลื่อนที่ เป็น  h  ในที่นี้ลูกน้ำหนักมีความเร็วต้น  u  ในแนวดิ่งซึ่งเท่ากับ  +10\sin 42^\circ และความเร่งเป็น  -9.8 m/s^2โดยมีความเร็วสุดท้ายที่ตำแหน่งสูงสุดเป็นศูนย์
จาก            v^2 = u^2 + 2as
แทนค่า        o = (10\sin 42^\circ m/s)^2 + 2( - 9.8m/s^2 ) (h m)
h = 2.28 m
เนื่องจากขณะที่เริ่มเคลื่อนที่ ลูกน้ำหนักอยู่สูงจากพื้น  1.80 m  ดังนั้นลูกน้ำหนักจะขึ้นไปสูงสุด
จากพื้น     =    1.80   m    +   2.28  m    =  4.08    m

คำตอบ  ลูกน้ำหนักขึ้นไปสูงสุดจากพื้น  เท่ากับ  4.08  เมตร

การเคลื่อนที่ในแนวระดับ
          เนื่องจากช่วงเวลาของการเคลื่อนที่ในแนวระดับ  จะเท่ากับเวลาที่ลูกน้ำหนักเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง  นับตั้งแต่ลูกเหล็กออกจากมือถึงจุดสุดท้าย  จะได้  การกระจัด  = -1.80 m โดยลูกน้ำหนักมีความเร็วต้น u_y = + 10\sin 42^\circ m/s และความเร่ง  = - 9.8m/s^2 เราสามารถหาช่วงเวลา t 0นับตั้งแต่ลูกน้ำหนักออกจากมือจนตกถึงพื้นได้จาก s = u_y t + \frac{1}{2}at^2
แทนค่า        -1.80 = (10\sin 42^\circ m/s)t + \frac{1}{2}( - 9.8m/s)t^2
t    =     1.59       s
สำหรับการกระจัดในแนวระดับ   S_x หาได้จาก   s = u_x t
แทนค่า                                                     s_x = (10\cos 42^\circ m/s)(1.59s)
ได้                                                                           =       11.82      m
คำตอบ   ลูกน้ำหนักตกห่างจากจุดเริ่มต้นในแนวระดับ   11.82  เมตร

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ที่กล่าวมานี้ไม่ได้คิดถึงแรงต้านจากอากาศและแรงอื่นๆ  เช่น  แรงลม  แรงหนึด  ความแตกต่างของสนามโน้มถ่วง ฯลฯ  ซึ่งต่างก็มีผลต่อการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์ทั้งสิ้น  แนวการเคลื่อนที่ของวัตถุที่คิดถึงแรงต่างๆ เหล่านี้จึงมักไม่เป็นพาราโบลาที่สมบูรณ์  เช่น  ลำน้ำที่ถูกฉีดออกจากท่อน้ำดับเพลิงหรือสายยางรดน้ำต้นไม้ ถ้าไม่คิดแรงต้านอากาศแนวการเคลื่อนที่ของลำน้ำจะเป็นเส้นโค้งพาราโบลา แต่ความเป็นจริงอากาศมีแรงต้านทานต่อการเคลื่อนที่ของลำน้ำ  ดังนั้นแนวการเคลื่อนที่ของลำน้ำอาจจะไม่เป็นเส้นโค้งพาราโบลา ดังรูป  4.9  โดยเฉพาะเมื่อปลายลำน้ำแตกเป็นฝอย  อย่างไรก็ตามความรู้เกี่ยวกับโพรเจกไทล์  สามารถใช้ทำนายการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์ได้โดยประมาณอาจได้ผลถูกต้องพอควรสำหรับโพรเจกไทล์ที่แรงต้านอากกาศมีผลต่อการเคลื่อนที่น้อย

การเคลื่อนที่แบบวงกลม


รูป  4.10   การเคลื่อนที่แบบวงกลมหรือส่วนของวงกลม

          การเคลื่อนที่แบบวงกลมเป็นการเคลื่อนที่อีกแบบหนึ่งที่น่าสนใจ  เพราะการเคลื่อนที่หลายอย่างรอบตัวเรา  มีส่วนที่จะเป็นการเคลื่อนที่เป็นวงกลม  ตัวอย่างเช่น  การเคลื่อนที่ดังรูป  4.10  รถยนต์หรือรถจักรยานยนต์กำลังเลี้ยวโค้ง  รถไฟตีลังกา  หรือดาวเทียมโคจรรอบโลก   นับเป็นการเคลื่อนที่แบบวงกลมหรือส่วนของวงกลม  รถยนต์  รถจักรยานยนต์  และ ดาวเทียม  เคลื่อนที่ในแนววงกลมหรือส่วนของวงกลม ได้อย่างไร  หรือทำไมการเคลื่อนที่เป็นแบบนั้นๆ ได้ จะศึกษาต่อไป
เพื่อความเข้าใจการเคลื่อนที่เป็นวงกลม  เราควรเริ่มศึกษาจากการเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีอัตราเร็วคงตัวก่อน  นั่นคือการเคลื่อนที่ที่มีขนาดของความเร็วเท่าเดิม  สม่ำเสมอแต่มีทิศเปลี่ยนไปทีละน้อย

รูป  4.11  การแกว่งวัตถุให้เคลื่อนที่เป็นวงกลมในระนาบระดับ

          เราอาจหาประสบการณ์จากการแกว่งวัตถุที่ปลายเชือกให้เป็นวงกลมในระนาบระดับดังรูป  4.11  ในการแกว่งที่รัศมีค่าหนึ่ง เราจะรู้สึกว่า  มือจะต้องใช้แรงดึงมากขึ้นเมื่อแกว่งให้เร็วขึ้น  (เวลาครบรอบสั้นลง)  แสดงว่าการทำให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมจะต้องใช้แรงดึง  การแสดงว่า การเคลื่อนที่เป็นวงกลมหรือการเคลื่อนที่เป็นแนวโค้งของวัตถุต้องใช้แรงก็คือ การใช้อุปกรณ์สาธิตที่ดีดลูกกลมโลหะให้เคลื่อนที่ไปตามรางโค้งวงกลม ดังรูป  4.12  จะสังเกตได้ว่าเมื่อสุดรางโค้ง ลูกโลหะจะวิ่งตรงต่อไป  แสดงว่าวัตถุวิ่งโค้งได้เนื่องจากมีรางบังคับ  และจะต้องมีแรงจากรางกระทำอยู่ตลอดเวลา แรงดังกล่าวเป็นแรงกระทำจากขอบรางซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากลูกกลมโลหะเคลื่อนที่สัมผัสกับราง  ณ  ตำแหน่งต่างๆ ในทิศตั้งฉากกับราง จึงมีทิศเข้าหาศูนย์กลางของการเคลื่อนที่ดังรูป  4.13

รูป  4.12  ลูกกลมโลหะเคลื่อนที่ไปตามรางโลหะที่เป็นส่วนโค้งวงกลม

รูป  4.13  แรงกระทำกับลูกกลมโลหะขณะเคลื่อนที่ไปตารางโค้ง

การเคลื่อนที่แบบวงกลมมีความเร่งสู่ศูนย์กลาง
เราอาจพิสูจน์ได้ว่าวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมมีความเร่ง  จากความหมายของความเร่ง  คือ  อัตราการเปลี่ยนความเร็ว  การเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีขนาดของความเร็วคงตัว  แต่มีการเปลี่ยนทิศของความเร็วตลอดเวลา  ซึ่งจะถือว่ามีการเปลี่ยนความเร็ว  และมีความเร่งดังต่อไปนี้
พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนววงกลมรัศมี r ด้วยขนาดความเร็วคงตัว v จากตำแหน่ง A ไปยังตำแหน่ง B โดยผ่านตำแหน่ง C ที่อยู่บนแกน y ดังรูป 4.14 ถ้าให้ A และ B อยู่ห่างจากแกน y เท่ากัน และที่ตำแหน่ง A กับ B วัตถุมีความเร็ว\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _A และ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _B ตามลำดับ


รูป  4.14  การเปลี่ยนแปลงความเร็วของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่ในแบบวงกลม

                    เมื่อพิจารณาแต่ขนาดของ  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _A และ\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _B จะได้ v_A&nbsp; = v_B&nbsp; = vและจะได้ว่า
ความเร็วองค์ประกอบของ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _A ในแนวแกน   x    =    + v_A \cos \theta
ความเร็วองค์ประกอบของ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _A ในแนวแกน   y    =    + v_A \sin \theta
ความเร็วองค์ประกอบของ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _B ในแนวแกน   x    =    + v_B \cos \theta
ความเร็วองค์ประกอบของ\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _B ในแนวแกน   y    =   - v_B \sin \theta
เมื่อ  \thetaเป็นมุมระหว่างเส้นรัศมีมีที่ตำแหน่ง  A  กับ  C  หรือมุมระหว่างเส้นรัศมีที่ตำแหน่ง  B  กับ  C  พิจารณาช่วงเวลาที่วัตถุใช้ในการเคลื่อนที่จาก  A  ไป  B  ด้วยอัตราความเร็วคงตัว v จะได้
t = \frac{{Êèǹâ¤é§ AB}}{v}
จากรูปเราสามารถหา ความยาวของส่วนโค้ง  AB  ได้เป็น (2\theta )rดังนั้น
t = \frac{{2\theta r}}{v}

สำหรับการเคลื่อนที่ของวัตถุบนส่วนโค้ง  AB  ความเร็วในแกน  X  ที่  A และที่  B  จะมีค่าเท่ากันคือ
v_A \cos \theta = v_B \cos \theta = v\cos \thetaดังนั้นความเร่งในแนวแกน  X  จึงเท่ากับศูนย์  และ
เราสามารถหาความเร่งเฉลี่ยตามแนวแกน  y  คือ  a_y ได้จาก  a = \frac{{v - u}}{t}
แทนค่า                     a_y = ( - v_B \sin \theta - v_A \sin \theta )\frac{v}{{2\theta r}}
a_y = - \frac{{v^2 }}{r}\left( {\frac{{\sin \theta }}{\theta }} \right)
เครื่องหมาย  –  แสดงว่า  ความเร่ง  a_y มีทิศทางไป  – y  คือตำแหน่ง  C  เข้าหาจุด ศูนย์กลาง  O
เมื่อให้มุม\thetaมีค่าน้อยจนเกือบเป็นศูนย์  เพื่อให้  A และ  B  เข้าใกล้ตำแหน่ง  C  ซึ่งอยู่ตรงส่วนบนสุดของวงกลม  ดังนั้นความเร่ง a_y ก็จะเป็นความเร่งขณะหนึ่งคือความเร่งที่ตำแหน่ง  C  มีทิศเข้าหาจุดศูนย์กลาง  O  ของวงกลม  การหาขนาดของความเร่งขณะหนึ่งจะพิจารณาว่า  \sin \theta = \thetaเพราะ \thetaมีค่าน้อยเข้าใกล้ศูนย์  และจะได้
a_y = \frac{{v^2 }}{r}  ซึ่งมีทิศเข้าสู่จุดศูนย์กลางของวงกลม
ในทำนองเดียวกัน  ถ้าย้ายตำแหน่ง  C  มาอยู่บนแนวแกน  X  แทน โดยให้  A  และ  B  อยู่ห่างจาก  C  เท่ากันเช่นเดิม ก็จะได้ว่าความเร่งขณะหนึ่งที่ตำแหน่ง  C  จะมีทิศในแนวแกน  X  และเข้าหาจุดศูนย์กลางเช่นเดิม  และไม่ว่าจะย้าย  C  ไปอยู่ที่ตำแหน่งใดบนเส้นรอบวงกลม  ก็จะได้ว่าความเร่งขณะหนึ่งที่ตำแหน่ง  C  มีทิศเข้าหาจุดศูนย์กลางเสมอ
ดังนั้นถ้าให้  a_c เป็นความเร่งขณะหนึ่งที่มีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางวงกลม
จะได้              a_c = \frac{{v^2 }}{r}                                   (4.4)
เมื่อวัตถุมีความเร่งทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง  ดังนั้นวัตถุเคลื่อนที่ในแนววงกลมด้วยอัตราเร็วคงตัว  ต้องมีแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อวัตถุตามกฎของนิวตัน แรงสู่ศูนย์กลาง F_c จะเป็น
F_c = ma_2 \frac{{mv^2 }}{r}                                   (4.5)
เราสามารถทำการทดลองเพื่อสำรวจว่า  การเคลื่อนที่แบบวงกลมมีแรงสู่ศูนย์กลางหรือไม่  หรือเพื่อพิสูจน์ว่าแรงสู่ศูนย์กลางเป็นไปตามสมการ  (4.5)  หรือไม่ ดังรายละเอียดท้ายบท

การเคลื่อนที่บนโค้ง
ในกรณีของรถยนต์ที่กำลังเลี้ยวโค้ง  แรงเสียดทานที่พื้นถนนกระทำกับด้านข้างของยางรถจะเป็นแรงสู่ศูนย์กลางที่ทำให้รถยนต์เลี้ยวโค้งได้  และเนื่องจากแรงเสียดทานมีค่าจำกัดขึ้นกับสภาพถนนและยางรถ  ดังนั้นแรงสู่ศูนย์กลางที่เป็นไปได้จึงมีค่าจำกัดด้วย  ถ้าถนนมีรัศมีความโค้งขนาดหนึ่ง  อัตราเร็วที่รถวิ่งขณะเลี้ยวโค้งจะต้องไม่มากเกินกว่าที่ถนนจะสามารถให้แรงเสียดทานทิศสู่ศูนย์กลางที่เป็นไปตามสมการ  (4.4)  ได้  หากอัตราเร็วเกินรถจะไถลออกนอกโค้ง  ดังที่เกิดขึ้นเป็นอุบัติเหตุที่เป็นข่าวบ่อยครั้ง โดยเฉพาะเมื่อฝนตก  ถนนลื่นแรงเสียดทานที่เป็นไปได้จะลดลง

ตัวอย่าง  4.3    รถยนต์มวล  1,000  กิโลกรัม แล่นด้วยความเร็ว  60  กิโลเมตรต่อชั่วโมงเลี้ยวโค้งบนถนน ที่มีผิวอยู่ในแนวระดับและมีทางโค้ง  2  โค้ง  ซึ่งมีรัศมีความโค้ง  100  เมตร  และ  500  เมตร ตามลำดับ
1.     แรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำต่อรถยนต์ในแต่ละกรณีมีค่าเท่าใด
2.    ถ้าแรงเสียดทานที่พื้นถนนกระทำกับยางรถในทิศเข้าสู่ศูนย์กลางมีค่าสูงสุดเท่ากับ  1,000  นิวตัน  จะมีผลอย่างไรต่อการเลี้ยวโค้งของรถยนต์ทั้งสองกรณี
วิธีทำ
1.  กรณีที่ถนนระดับมีรัศมีความโค้ง  100  เมตร
จาก           F_c = \frac{{mv^2 }}{r}
ในที่นี้  m   =   1000  kg,   v = \frac{{60 \times 10^3 }}{{3600}}m/s และ r = 100 m
แทนค่า                     F_c = \frac{{1000kg}}{{100m}} \times \left( {\frac{{60 \times 10^3 }}{{3600}}m/s} \right)^2
F_c = 2,778 N
คำตอบ     แรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อรถยนต์ขณะเลี้ยวโค้งบนถนนระดับรัศมีความโค้ง  100  เมตร เท่ากับ  2,778  นิวตัน

กรณีที่ถนนระดับมีรัศมีความโค้ง   500  เมตร
จาก  F_c = \frac{{mv^2 }}{r}
ในที่นี้  m     =     1000  kg  v = \frac{{60 \times 10^3 }}{{3600}}m/s และ r = 500 m
แทนค่า                             F_c = \frac{{1000kg}}{{500m}} \times \left( {\frac{{60 \times 10^3 }}{{3600}}m/s} \right)^2
F_c = 555.6 N

คำตอบ     แรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อรถยนต์ขณะเลี้ยวโค้งบนถนนระดับรัศมีความโค้ง  500  เมตร เท่ากับ  555.6  นิวตัน

2. เนื่องจากแรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำต่อรถยนต์มีค่าสูงสุด  1,000  นิวตัน  รถยนต์จะต้องเลี้ยวโค้งด้วยแรงสู่ศูนย์กลางที่น้อยกว่าหรือเท่ากับแรงสู่ศูนย์กลางสูงสุดจึงจะเลี้ยวโค้งได้อย่างปลอดภัย

คำตอบ     กรณีที่รัศมีของทางโค้ง  100  เมตร  ต้องใช้แรงสู่ศูนย์กลางถึง  2,778  นิวตัน  ดังนั้นรถยนต์จึงไม่สามารถเลี้ยวโค้งได้  เป็นเหตุให้รถไถลออกนอกถนน  แต่กรณีที่รัศมีของทางโค้ง  500  เมตรจะใช้แรงสู่ศูนย์กลางเพียง  555.6  นิวตัน  ดังนั้นรถยนต์จึงสามารถเลี้ยวโค้งได้อย่างปลอดภัย
จากตัวอย่าง  4.3  ทำให้วิเคราะห์ได้ว่ารถยนต์แล่นเลี้ยวโค้งบนถนนระดับที่มีรัศมีความโค้งไม่เท่ากันแต่ด้วยอัตราเร็วเท่ากัน  จะมีแรงสู่ศูนย์กลางไม่เท่ากัน  ทางโค้งที่มีรัศมีความโค้งสั้น  รถยนต์จะใช้แรงสู่ศูนย์กลางมากกว่าทางโค้งที่มีรัศมีความโค้งยาว  ดังนั้นรถยนต์ที่เลี้ยวโค้งที่มีรัศมีความโค้งน้อย  ไม่ควรเลี้ยวด้วยอัตราเร็วเท่ากับการเลี้ยวโค้งบนทางที่มีรัศมีความโค้งมากกว่า  เนื่องจากแรงเสียดทานที่ถนนกระทำกับรถซึ่งเป็นแรงสู่ศูนย์กลางมีค่าจำกัด  อาจมีค่าไม่พอที่จะทำให้รถเลี้ยวโค้งได้อย่างปลอดภัย  ผู้ขับขี่ยวดยานจึงต้องใช้ความเร็วตามที่กำหนดอย่างเคร่งครัด  อย่างไรก็ตาม  ถ้าต้องการให้รถเลี้ยวโค้งได้อย่างปลอดภัยด้วยอัตราเร็วที่มากขึ้น จำเป็นต้องหาแรงอื่นมาเสริมแรงเสียดทานเพื่อเพิ่มแรงสู่ศูนย์กลางขึ้นให้เหมาะสม

การเลี้ยวโค้งบนถนนระดับของรถจักรยานยนต์หรือรถจักรยาน ขณะรถจักรยานยนต์หรือรถจักรยานแล่นในแนวตรงบนถนนระดับ  ถ้าพิจารณาแรงทั้งหมดที่กระทำกับรถและคนนอกจากแรงเสียดทานที่กระทำที่ล้อรถทำให้รถเคลื่อนที่ไปข้างหน้าได้  ยังมีน้ำหนักของรถและคน  และแรงที่พื้นดันรถและคนในทิศตั้งฉาก   รถและคนจะต้องตั้งตรง แนวของ   และ  จึงจะผ่านศูนย์กลางมวลรวมของรถและคนและอยู่ในแนวดิ่ง  ทำให้ไม่มีโมเมนต์ของแรงที่จะทำให้รถล้ม  รถจึงไม่ล้ม  ดังรูป  4.15 ก.



รูป  4.15   แสดงแรงกระทำต่อรถจักรยานยนต์

                    เมื่อรถจักรยานยนต์หรือรถจักรยานเลี้ยวโค้ง  จะต้องมีแรงกระทำต่อรถเพิ่มอีก  1  แรง คือแรงเสียดทาน \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} ที่พื้นถนนกระทำกับด้านข้างของล้อรถในทิศเข้าหาจุดศูนย์กลางของความโค้งรถจำเป็นต้องเอียงตัว เพื่อให้ไม่มีโมเมนต์ของแรงที่จุดศูนย์กลางมวล  ดังรูป  4.15  ข.ถ้าคนและรถไม่เอียงตัว  แรงลัพธ์ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R}  ของแรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f}และ\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} จะไม่ผ่านศูนย์กลางมวล ดังรูป 4.15 คำให้มีโมเมนต์ของแรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} (คิดรอบจุดศูนย์กลางมวล)  เป็นเหตุให้มีการหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล และรถล้ม

                    การยกขอบของถนนโค้ง


รูป  4.16 แรงที่กระทำต่อรถขณะที่กำลังแล่นเลี้ยวโค้งบนถนเอียงทำมุมกับพื้นระดับ

เพื่อให้การเลี้ยวโค้งด้วยความเร็วเป็นไปได้ง่ายขึ้นและปลอดภัยขึ้น  พื้นถนนโค้งจะถูกยกให้เอียงโดยให้ขอบถนนด้านนอกสูงกว่าขอบด้านใน เมื่อรถแล่นเลี้ยวโค้งบนพื้นถนนที่เอียงด้วยขนาดของความเร็วพอดีตามที่วิศวกรออกแบบไว้  ไม่ว่าจะเป็นรถยนต์ หรือรถจักรยานยนต์  แรงที่ถนนกระทำต่อรถจะพอดีและอยู่ในทิศตั้งฉากกับพื้นเอียงได้  ที่ความเร็วนั้นจึงไม่มีแรงเสียดทาน  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} ที่พื้นถนนกระทำต่อด้านข้างของล้อรถ  องค์ประกอบของแรงตั้งฉากกับถนนในทิศขนานกับพื้นระดับ\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} จะทำให้เกิดแรงสู่ศูนย์กลาง\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _c ดังรูป  4.17  โดยไม่ต้องอาศัยแรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} ถ้ารถวิ่งด้วยอัตราเร็วที่ไม่พอดีรถจึงจะอาศัยแรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} ช่วย  องค์ประกอบของแรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} ในแนวระดับคือN\sin \thetaเมื่อยกขอบถนนให้เอียงทำมุม \thetaกับแนวระดับและวิ่งด้วยอัตราเร็วพอดีจากรูป  4.16  แรงสู่ศูนย์กลางคือ N\sin \theta
จาก     F_c = \frac{{mv^2 }}{r}
ดังนั้น  N\sin \theta = \frac{{mv^2 }}{r}
และ     N\cos \theta = mg
ดังนั้น  \frac{{N\sin \theta }}{{N\cos \theta }}= \frac{{mv^2 }}{{rmg}}
หรือ      \tan \theta = \frac{{v^2 }}{{rg}}                                                         (4.6)
สมการ  4.6  แสดงให้เห็นว่าในการสร้างถนนทางโค้งให้เอียงทำมุมกับแนวระดับนั้นต้องคำนึงถึงอัตราเร็วของรถขณะเลี้ยวและรัศมีของทางโค้งเพื่อให้การขับรถปลอดภัย
ตัวอย่าง  4.4        รถยนต์คันหนึ่งแล่นด้วยอัตราความเร็ว  60  กิโลเมตรต่อชั่วโมง  บนถนนโค้งที่มีรัศมีความโค้ง  150  เมตร ถ้าไม่คิดแรงเสียดทาน พื้นถนนควรเอียงทำมุมเท่าไร กับแนวระดับรถจึงจะเลี้ยวได้อย่างปลอดภัย

วิธีทำ     การหามุมที่พื้นถนนทำกับแนวระดับ  หาได้จากสมการ
\tan \theta = \frac{{v^2 }}{{rg}}
ในที่นี้                  v = 16.67 m/s และ r = 150 m
แทนค่า   \tan \theta = \frac{{(16.67m/s)^2 }}{{150m \times 9.8m/s^2 }} = 0.189
\theta = 10.7^\circ
คำตอบ พื้นถนนจะต้องเอียงทำมุม  10.7  องศากับแนวระดับรถจึงจะเลี้ยวได้อย่างปลอดภัย

ตัวอย่าง  4.5      รถยนต์มวล  1,550  กิโลกรัม  แล่นเลี้ยวบนถนนระดับ  ซึ่งมีรัศมีความโค้ง  50 เมตร ด้วยอัตราเร็ว  36  กิโลเมตรต่อชั่วโมง  จงหาแรงเสียดทานระหว่างพื้นถนนกับยางรถที่มีค่าน้อยที่สุดที่ทำให้รถยนต์สามารถเลี้ยวได้อย่างปลอดภัย

วิธีทำ     แรงเสียดทานระหว่างพื้นถนนกับยางรถที่มีค่าน้อยที่สุดที่ทำให้รถยนต์สามารถเลี้ยวโค้งได้ คือแรงสู่ศูนย์กลาง
F_c = \frac{{mv^2 }}{r}
จะได้แรงสู่ศูนย์กลาง    ในที่นี้             m   =   1,550  kg, v =   10   m/s   และ   r   =   50  m
แทนค่า              F_c = \frac{{1550kg \times (10m/s)^2 }}{{50m}}
จะได้แรงสู่ศูนย์กลาง  [texF]_c[/tex] =   3,100  N
คำตอบ  แรงเสียดทานระหว่างพื้นถนนกับยางรถที่มีค่าน้อยที่สุดทำให้รถยนต์สามารถเลี้ยวได้อย่างปลอดภัย เท่ากับ  3,100  นิวตัน
เราสามารถใช้ความรู้ที่ศึกษามานี้อธิบายการเคลื่อนที่แบบวงกลมในแนวระดับของวัตถุในลักษณะอื่นๆ ได้ เช่น  เพนดูลัมกรวย  ได้เช่นกัน

ตัวอย่าง  4.6      ถ้าแกว่งเชือกยาว l ซึ่งเป็นวัตถุมวล  m ผูกที่ปลายให้เคลื่อนที่แบบเพนดูลัมกรวย รัศมีของการเคลื่อนที่แบบวงกลมเท่ากับ  r  และวัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงตัว v  จงหามุม \theta ที่เส้นเชือกทำกับแนวดิ่ง

รูป  4.17  แสดงแรงกระทำต่อวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่แบบเพนดูลัม 

วิธีทำ
ให้  T  เป็นแรงดึงในเส้นเชือก แรงองค์ประกอบของ T  ในแนวระดับเท่ากับ  T\sin \thetaซึ่งเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง  F_c
จาก              F_c = \frac{{mv^2 }}{r}
แทนค่า        T\sin \theta = \frac{{mv^2 }}{r}
แรงองค์ประกอบของ  T  ในแนวดิ่งคือ  T\cos \thetaซึ่งมีขนาดเท่ากับน้ำหนัก  mg  แต่กระทำต่อวัตถุในแนวตรงข้ามกัน ในสมดุล
T\cos \theta = mg
จะได้     \frac{{T\sin \theta }}{{T\cos \theta }} = \frac{{mv^2 }}{r}\frac{1}{{mg}}
\tan \theta = \frac{{v^2 }}{{rg}}

คำตอบ   มุมที่เส้นเชือกทำกับแนวดิ่งเท่ากับ \tan ^{ - 1} = (\frac{{v^2 }}{{rg}})

การเคลื่อนที่แบบวงกลมในระนาบดิ่ง
การเคลื่อนที่แบบวงกลมในระนาบดิ่ง ได้แก่  การเคลื่อนที่ของลูกกลมโลหะไปตามรางรูปวงกลมในระนาบดิ่ง ทุกๆ หนแห่งที่ลูกกลมโลหะเคลื่อนที่ผ่านจะมีแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อลูกกลมโลหะเพื่อเปลี่ยนทิศของความเร็ว  แรงสู่ศูนย์กลางมีค่าอย่างไรเมื่อลูกกลมโลหะอยู่ ณ ตำแหน่งต่างๆ ในรางรูปวงกลมจะต้องระลึกว่า  เพราะลูกกลมถูกแรงโน้มถ่วงกระทำอยู่ตลอดเวลาด้วย  ผลของแรงโน้มถ่วงที่กระทำนี้  จะทำให้อัตราเร็วของการเคลื่อนที่ไม่สามารถจะรักษาให้คงตัวได้  แต่จะต้องเป็นไปตามหลักการอนุรักษ์พลังงาน  ซึ่งจะได้เรียนในบทต่อไป


รูป  4.18 การเคลื่อนที่เป็นวงกลมในระนาบดิ่ง

การคิดหาค่าแรงที่ต้องการที่จะกระทำให้วัตถุวิ่งโค้ง  อาจทำได้ตามหลักเกณฑ์ปกติ เช่น กรณีลูกกลมโลหะอยู่  ณ ตำแหน่งล่างสุดของรางวงกลม แรงที่รางกระทำกับวัตถุจะเป็นเท่าใด  ขณะที่วัตถุมีอัตราเร็ว v และรางมีรัศมีความโค้งเป็น  r


รูป  4.19  แรงต่อการเคลื่อนที่เป็นวงกลมในระนาบดิ่งที่จุดต่ำสุด

ถ้าให้F_c เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง จะได้
\frac{{mv^2 }}{r} = F_c = N - mg
แสดงว่า   แรงที่รางดันลูกกลมโลหะในทิศตั้งฉาก
กับราง  N = \frac{{mv^2 }}{r} + mg
แรงกระทำต่อวัตถุที่ตำแหน่งอื่นอาจจะหาได้ในทำนองเดียวกัน

ตัวอย่าง  4.7   ผูกวัตถุมวล 1 กิโลกรัม ด้วยเส้นเชือกยาว 1 เมตร แกว่งวัตถุให้เคลื่อนที่เป็นแนววงกลมในระนาบดิ่ง จงหาอัตราเร็ว  ณ  ตำแหน่งสูงสุด  เมื่อแรงดึงในเส้นเชือกเท่ากับ 6 นิวตัน (กำหนดให้  g = 10 เมตร/วินาที^2 )


รูป  4.20  สำหรับตัวอย่าง  4.7

          วิธีทำ
                             อัตราเร็ว ณ  ตำแหน่งสูงสุดสามารถหาได้จาก
F_c = \frac{{mv^2 }}{R}
ในที่นี้แรงสู่ศูนย์กลางมาจากแรงดึงและน้ำหนักดังนั้น
F_c = (1kg ) x (10 m/s^2 ) +6N
=   \frac{{mv^2 }}{R}
แทนค่ามวลและรัศมี  จะได้  v^2 = 16 หรือ v = 4.0 m/s

คำตอบ    อัตราเร็ว  ณ  ตำแหน่งสูงสุดเท่ากับ  4.0  เมตรต่อวินาที

อัตราเร็วเชิงมุม
การเคลื่อนที่ของวัตถุในแนววงกลมเป็นการเคลื่อนที่ในระนาบ  xy  ด้วยอัตราเร็วคงตัวระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ใน  1  หน่วยเวลาเป็นอัตราเร็วเชิงเส้น  นอกจากวัตถุจะมีอัตราเร็วเชิงเส้นแล้วยังมีอัตราเร็วเชิงมุมซึ่งหมายถึง มุมที่รัศมีกวาดไปได้ใน 1 หน่วยเวลา ในรูป 4.21  แสดงให้เห็นว่าเราใช้มุม \theta ที่วัตถุกวาดไปบนเส้นรอบวงกลมบอกตำแหน่งของวัตถุได้ ซึ่ง \theta = \frac{s}{r}โดย s  เป็นระยะทางบนส่วนโค้งวงกลมที่วัตถุกวาดไป  และ  r  เป็นรัศมีวงกลม มุม \thetaที่กำหนดในลักษณะนี้จะวัดเป็นเรเดียนซึ่งเป็นค่าตัวเลขการเปรียบเทียบตำแหน่งบนเส้นรอบวงกลมจากแนวอ้างอิง  (ในรูปนี้คือแนวแกน   x)
เนื่องจากความยาวของเส้นรอบวงกลม 1 รอบคือ 2\pi rดังนั้นมุมที่กวาดไปครบ 1 รอบจึงเป็น 2\pi เรเดียน

 
รูป  4.21  แสดงวัตถุเคลื่อนที่ในแนววงกลมจาก A ไป  B

                              จากรูป  4.21  วัตถุเคลื่อนที่ในแนววงกลมรัศมี  r ด้วยอัตราเร็วคงตัว v  ถ้าวัตถุเคลื่อนที่จาก  A  ไป  B  ใช้เวลา t  และรัศมีวงกลมกวาดไปเป็นมุม \thetaค่ามุมที่กวาดไปได้ในเวลา 1 หน่วยเวลาเรียกว่า  อัตราเร็วเชิงมุม ใช้สัญลักษณ์ \omegaมีหน่วยเป็น  เรเดียนต่อวินาที หรือ  rad/s  จะหาค่าได้จาก
\omega = \frac{\theta }{t}                                      (4.7)

ถ้าวัตถุเริ่มเคลื่อนที่จาก A  ไปตามเส้นรอบวงกลมและกลับมาที่  A  อีกครั้งหนึ่ง เป็นการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ จะได้เวลาในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ คือ คาบ  T   และมุมที่รัศมีกวาดไปครบ 1 รอบเป็น 2\piเรเดียน
ดังนั้น                   \omega&nbsp; = \frac{{2\pi }}{T}                                                            (4.8)
และในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ จะได้ระยะทาง 2\pi r
ดังนั้น  อัตราเร็วเชิงเส้น    v = \frac{{2\pi r}}{T}                                 (4.9)
จะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง v กับ \omegaเป็น
v = \omega r
จาก                          a_c = \frac{{v^2 }}{r}
จะได้                         a_c = \omega ^2 r                                                         (4.10)
จาก                              F_c = ma_c
จะได้                            F_c = m\omega ^2 r                                                  (4.11)
สมการ (4.10) และ (4.11)  เป็นการเขียนความเร่งและแรงสู่ศูนย์กลางในรูปของอัตราเร็วเชิงมุม

ตัวอย่าง 4.8    โลกหมุนรอบตัวเองครบ 1 รอบ ใช้เวลา 24 ชั่วโมง และรัศมีของโลกเท่ากับ  6.37 x 106เมตร จงคำนวณหา
ก.อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุบนผิวโลก
ข.อัตราเร็วเชิงเส้นและขนาดของความเร่งสู่ศูนย์กลางของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของโลก
วิธีทำ
วัตถุบนโลกเคลื่อนที่ในแนววงกลมตลอดเวลา และเคลื่อนที่ครบ 1 รอบใช้เวลา 24 ชั่วโมง เนื่องจากโลกหมุนรอบตัวเอง
ก.    หาอัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุ
จาก                        \omega = \frac{{2\pi }}{T}
ในที่นี้                       T   =   86400  s
แทนค่า                               \omega = \frac{{2 \times 3.0142}}{{86400}} = 7.27 \times 10^{ - 5} rad/s

คำตอบ     อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุบนผิวโลกเท่ากับ7.27 \times 10^{ - 5}เรเดียนต่อวินาที
ข.    หาอัตราเร็วเชิงเส้นของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตร
จาก                       v = \omega r
ซึ่ง                         \omega = 7.27 \times 10^{ - 5} rad/s และ r = 6.37x 106 m
แทนค่า                      v = (7.27 \times 10^{ - 5} rad/s) \times (6.37 \times 10^{10} m)
v = 4.63 \times 10^2 m/s
คำตอบ  อัตราเร็วเชิงเส้นของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตร  463  เมตรต่อวินาที

หาขนาดของความเร่งสู่ศูนย์กลางของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของโลก
จาก                       a_c = \omega ^2 r
แทนค่า                  v = (7.27\times 10^{- 5} rad/s) \times (6.37 \times10^{10} m)
a_c = 3.37 \times 10^{ - 2} m/s^2
คำตอบ     ขนาดของความเร่งสู่ศูนย์กลางของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของโลกเท่ากับ  displaystyle 3.37 \times 10^{ - 2} m/s^2
หมายเหตุ   จากตัวอย่าง  4.8  จะเห็นว่าวัตถุที่อยู่บนผิวโลกมีความเร่งสู่ศูนย์กลาง  ดังนั้น  กรอบอ้างอิงที่อยู่บนผิวโลกจึงไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อยที่แท้จริง  แต่เราประมาณว่าเป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย

การเคลื่อนที่ของดาวเทียม
ดาวเทียมที่โคจรรอบโลกมีเป็นจำนวนมาก  ดาวเทียมแต่ละดวงจะทำหน้าที่ต่างๆ กัน เช่น ดาวเทียมอุตุนิยมดาวเทียมสำรวจทรัพยากร ดาวเทียมสื่อสารและดาวเทียมจารกรรมททางทหารเป็นต้น  ดาวเทียมแต่ละดวงมีรัศมีวงโคจรต่างกันแต่ต่างก็เคลื่อนที่รอบโลกในแนววงกลม  โดยมีแรงที่โลกดึงดูดดาวเทียมเป็นแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อดาวเทียม ดาวเทียมแต่ละดวงจะเคลื่อนที่รอบโลกด้วยอัตราเร็วอย่างไร

รูป 4.22 การเคลื่อนที่ของดาวเทียมรอบโลก

จากรูป 4.22 ดาวเทียมมวล  m  โคจรรอบโลกด้วยอัตราเร็ว  v ณ ตำแหน่งวงโคจรซึ่งห่างศูนย์กลางของโลกเป็นระยะ  r  ให้  M  เป็นมวลของโลก F_c เป็นแรงสู่ศูนย์กลางซึ่งเป็นแรงดึงดูดที่โลกกระทำกับดาวเทียม และหาค่าของแรงนี้ได้จากกฎแรงดึงดูดระหว่างของนิวตัน
F=\frac{{GMm}}{{r^2}}
ดังนั้น \frac{{mv^2}}{r}=\frac{{GMm}}{{r^2}}
v^2 = \frac{{GM}}{r}                                                 (4.12)
จากสมการ (4.12) จะเห็นว่า ดาวเทียมที่มีรัศมีวงโคจรต่างกันจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเชิงเส้นต่างกันด้วย
การส่งดาวเทียมขึ้นไปสู่วงโคจรต่างๆ รอบโลกนั้น  ได้มีการกำหนดรัศมีวงโคจรไว้ก่อน แล้วคำนวณหาแรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำกับดาวเทียมและอัตราเร็วเชิงเส้นในวงโคจรนั้นๆ เมื่อยิงดาวเทียมขึ้นไปจนมีความสูงหรือรัศมีของการโคจรตามต้องการแล้ว จึงปรับทิศทางและอัตราเร็วของดาวเทียมเพื่อให้เข้าสู่วงโคจรรอบโลกตามที่กำหนดไว้
เมื่อสังเกตดาวเทียมสื่อสารจากพื้นโลก จะเห็นดาวเทียมสื่อสารอยู่  ณ  ตำแหน่งเดิมตลอดเวลา  ที่เป็นเช่นนี้ เพราะดาวเทียมสื่อสารมีคาบของการโคจรรอบโลกเท่ากับคาบการหมุนของโลกรอบตัวเอง หรืออัตราเร็วเชิงมุมของดาวเทียมสื่อสารเท่ากับอัตราเร็วเชิงมุมในการหมุนรอบตัวเองของโลก และการที่ดาวเทียมสื่อสารอยู่ที่ตำแหน่งเดิมโดยไม่เปลี่ยนแปลง ทำให้สถานีภาคพื้นดินและดาวเทียมสามารถติดต่อกันได้ตลอดเวลา
ตัวอย่าง  4.9    โลกหมุนรอบตัวเองเท่ากับ 24 ชั่วโมง  รัศมีวงโคจรรอบโลกของดาวเทียมสื่อสารจะต้องเป็นเท่าใดและมีอัตราเร็วเชิงมุมเท่าใด  กำหนดให้ G = 6.67 \times 10^{ - 11}นิวตัน เมตร2 ต่อกิโลกรัม2 มวลของโลก5.95 x 1024กิโลกรัม
วิธีทำ
เนื่องจากคาบของดาวเทียมสื่อสารเท่ากับคาบของการหมุนรอบตัวเองของโลก
จาก                                  \omega = \frac{{2\pi }}{T}
ในที่นี้              T      =     86,400  s
แทนค่า                         \omega = 7.27 \times 10^{ - 5} rad/s
จาก                                v^2 = \frac{{GM}}{r}
และ                                v = \omega r
จะได้                              r^3 = \frac{{GM}}{{\omega ^2 }}
แทนค่า                            r^3 = 74848.19 \times 10^{18}
r = 42.14 \times 10^6 m
คำตอบ  รัศมีวงโคจรรอบโลกของดาวเทียมเท่ากับ 42.14 \times 10^6เมตร
อัตราเร็วเชิงมุมของดาวเทียมสื่อสารเท่ากับ 7.26 \times 10^{ - 5}เรเดียน/วินาที
คำตอบ  รัศมีวงโคจรรอบโลกของดาวเทียมเท่ากับ 42.14 \times 10^6เมตร
อัตราเร็วเชิงมุมของดาวเทียมสื่อสารเท่ากับ 7.26 \times 10^{ - 5}เรเดียน/วินาที

การเคลื่อนแบบซิมเปิล์ฮาร์มอนิกส์


รูป  4.23  การเคลื่อนที่ของวัตถุติดสปริงบนพื้นราบ

ในรูป  4.23  วางมวลไว้บนพื้นราบ ผูกวัตถุเข้ากับปลายหนึ่งของสปริงโดยที่อีกปลายหนึ่งของสปริงผูกติดกับผนัง วัตถุจะอยู่นิ่งๆ บนพื้นในตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุออกจากตำแหน่งสมดุลแล้วปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่บนพื้นราบ วัตถุจะเคลื่อนที่กลับไปกลับมาผ่านตำแหน่งสมดุลและซ้ำเส้นทางเดิมการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้มีจำนวนมาก เช่น  การสั่นของสายไวโอลินเมื่อถูกสี การสั่นของกลองเมื่อถูกตี  การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ติดปลายลวดสปริง การเคลื่อนที่ของโมเลกุลอากาศเมื่อเคลื่อนเสียงส่งผ่าน  การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในสายอากาศของเครื่องส่งวิทยุ เป็นต้น ปริมาณที่สำคัญอย่างหนึ่งของการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้ คือ ความถี่ ซึ่งหมายถึงจำนวนรอบของการเคลื่อนที่ใน 1 วินาที แทนสัญลักษณ์ f มีหน่วยเป็นเฮิรตซ์ (Hz) ซึ่ง 1 Hz =  1s^{ - 1}
ความถี่จะเป็นส่วนกลับกับคาบ ดังสมการ (4.13) คาบคือ เวลาในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ ใช้สัญลักษณ์  T  แทนคาบ คาบมีหน่วยเป็นวินาที (s)
T = \frac{1}{f}                                                                                   (4.13)
การเคลื่อนที่ใดๆ ซึ่งเคลื่อนที่กลับไปมาซ้ำทางเดิม โดยผ่านตำแหน่งสมดุลและคาบของการเคลื่อนที่คงตัว ดังแสดงด้วยกราฟของการเคลื่อนที่ในแนวแกน x ดังรูป 4.24  เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบพีริออดิก(periodic motion)

รูป 4.24  กราฟของการเคลื่อนที่แบบพีริออดิก ทางแกน x

การเคลื่อนที่แบบพีริออดิกชนิดหนึ่งที่กราฟของการกระจัดกับเวลาอยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ความถี่คงที่มีค่าที่แน่นอนค่าเดียว เรียกว่า  การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย  (simple harmonic motion) นั่นคือ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นการเคลื่อนที่แบบพีริออดิกอย่างหนึ่ง อาจจะเรียกย่อๆ ว่า  การเคลื่อนที่แบบ  SHM  การกระจัดทาง  x  ในรูปฟังก์ชันของเวลา  t  ของ SHM โดยทั่วไปเขียนเป็นสมการได้เป็น
x = x_m \cos (\omega t + \phi )                                     (4.14)
ซึ่ง  x_m , \omega และ\phi เป็นค่าคงตัว
x_mเป็นการกระจัดสูงสุด เรียกว่า แอมพลิจูด (Amplitude)
\omega เป็นความถี่เชิงมุม มีค่าเท่ากับ 2\pi f เมื่อ f  เป็นความถี่ หรือเท่ากับ\frac{{2\pi }}{T}เมื่อ  T  เป็น คาบ  (period)
\phi เป็นค่าคงตัวทางเฟส (phase constant)  หมายถึงเฟสเริ่มต้น  คือค่าเฟสที่เวลาเป็นศูนย์ การเคลื่อนที่จะเป็นรูปไซน์หรือโคไซน์ขึ้นกับค่านี้ ถ้า  \phi = 0ก็เป็นรูปโคไซน์ ถ้า  \phi = - \frac{\pi }{2} ก็เป็นรูปไซน์  เนื่องจากรูปโคไซน์และรูปไซน์ต่างกันที่เฟสเท่านั้น  จึงอาจเรียกรวมว่าเป็นฟังก์ชันรูปไซน์

(sinusoidal function)
\omega tในสมการ (4.14)  นับเป็นเฟสที่เปลี่ยนไปตามเวลาของการเคลื่อนที่
จากสมการ (4.14)  เมื่อเขียนกราฟระหว่างการกระจัดกับเวลา โดยมี \phi ต่างๆ กันการกระจัดที่ตำแหน่งเริ่มต้นจะมีค่าขึ้นกับมุมเฟสเริ่มต้น \phi ดังรูป  4.25


รูป 4.25  กราฟระหว่างการกระจัดกับเวลาของฟังก์ชันรูปไซน์ \phi = 0, - \pi /4 และ- \pi /2 </b>

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย จึงอาจจะเขียนได้ในรูป
x = A\sin \omega t                                                (4.15)
ถ้าอนุภาคเริ่มต้นเคลื่อนที่จากตำแหน่งสมดุล  (x  =  0)  ซึ่งจะมีลักษณะเช่นเดียวกับกราฟของ
x = A\cos \left( {\omega t - \frac{\pi }{2}} \right)

สรุปได้ว่า  สำหรับ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย  คือการเคลื่อนที่ซึ่งมีการกระจัดเป็นฟังก์ชันของเวลาเป็นฟังก์ชันรูปไซน์

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเทียบกับการเคลื่อนที่เป็นวงกลม
ถ้านำดินน้ำมันก้อนโตพอเหมาะติดไว้ที่ขอบวงล้อกลมหรือแผ่นไม้วงกลมซึ่งหมุนได้คล่องในแนวระดับ เมื่อหมุนวงล้อให้อัตราเร็วเชิงมุมสม่ำเสมอ  ดินน้ำมันจะเคลื่อนที่ในแนววงกลมด้วยอัตราเร็วสม่ำเสมอด้วย  เมื่อฉายลำแสงขนานในแนวระดับไปที่ดินน้ำมัน ดังรูป  4.26  เงาของดินน้ำมันจะปรากฏบนฉากข้างหลัง โดยการเคลื่อนที่ของเงาจะกลับไปกลับมาในแนวตรงเป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย


รูป 4.26  การฉายแสงผ่านวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ปรากฏเงาบนฉากเป็น SHM

เงาบนฉากของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ก็เหมือนกบการคิดองค์ประกอบทาง x  ของการเคลื่อนที่ของจุดๆ หนึ่งเป็นวงกลมบนระนาบ xy  ดังรูป 4.27 ให้ที่ขณะหนึ่งจุดนั้นอยู่ที่ตำแหน่งมุม  \thetaหลังจากเคลื่อนที่มาแล้วเป็นเวลา  t  จากจุดตั้งต้นบนแกน  x  ดังรูป  การเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีอัตราเร็วสม่ำเสมอ ดังนั้น  \theta = \omega tถ้าวงกลมมีรัศมี  r  จะมีองค์ประกอบของตำแหน่งบนแกน x คือ
x = r\cos \theta = r\cos \omega t                                        (4.16)
และองค์ประกอบของความเร็วบนแกน  x  คือ
v_x = - v\sin \theta = - r\omega \sin \omega t                            (4.17)


รูป 4.27  จุด P เคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอบนระนาบ xy

จากความเร่งในทิศเข้าหาจุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากับ   \omega ^2 rหรือ v^2 /r จะได้องค์ประกอบของความเร่งบนแกน  x  คือ
a_x = - a\cos \theta = - \omega ^2 r\cos \omega t                                          (4.18)
จะเห็นว่าตำแหน่งทาง  x  ในสมการ (4.16)  เป็นอย่างเดียวกับสมการ (4.14)  เมื่อ เมื่อ เมื่อ เมื่อ \phi = 0ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย  และเมื่อนำมาใช้ในสมการ (4.18)  จะทำให้ได้ว่า
a_x = - \omega ^2 x                                              (4.19)
สมการ (4.19) แสดงลักษณะสำคัญประการหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย นั่นคือ การมีความเร่งเป็นปฎิภาคกับการกระจัดแต่มีทิศตรงกันข้าม เนื่องจาก\omega^2 มีค่าคงตัว ทั้งนี้ทิศของความเร่งจะเป็นทิศเดียวกับแรง และแรงจะต้องเป็นแรงเข้าหาจุดสมดุลในขณะที่การกระจัดมีทิศออกไปจากสมดุล
สำหรับการเคลื่อนที่ของดินน้ำมันไปตามแนววงกลม เมื่อเคลื่อนที่ครบ 1 รอบใช้เวลาที่เรียกว่าหนึ่งคาบ (period) หรือ T หนึ่งรอบหมายถึงดินน้ำมันจะเคลื่อนที่ไป 2\piเรเดียน ดังนั้นอัตราเร็วเชิงมุม \omega  ของการเคลื่อนที่เป็นวงกลมจึงมีค่าเท่ากับ \frac{{2\pi }}{T}ส่วนเงาของดินน้ำมันที่เคลื่อนที่กลับไปกลับมารอบตำแหน่งสมดุลจะมีความถี่ของการเคลื่อนที่เป็น  f= \frac{1}{T}มีหน่วยเป็นรอบต่อวินาทีหรือเฮิรตซ์ (hertz, Hz)  ความถี่เชิงมุม (\omega)  ของการเคลื่อนที่แบบ SHM  มีค่าเป็น 2\pi f= \frac{{2\pi }}{T}ซึ่งมีค่าเหมือนกับอัตราเร็วเชิงมุม \omega และมีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาทีเช่นเดียวกัน

รูป 4.28 การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของรถติดสปริง 

เมื่อดึงรถทดลองให้สปริงยึดและรถออกจากตำแหน่งสมดุลเป็นระยะ A จะได้การกระจัดของรถทดลองมีค่า  A และมีแรง  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}ของสปริงดึงรถทดลองไปทางซ้าย ดัง รูป 4.28  ก. แรงนี้เรียกว่า แรงดึงกลับ  (restoring  force) มีค่าตาม \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}=- k\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over x}ซึ่งแสดงว่าขนาดและแรงดึงกลับแปรผันตรงกับระระยืดหรือหดของสปริงหรือขนาดการกระจัด  แต่แรงดึงกลับ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} มีทิศตรงข้ามกับการกระจัด\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over x}โดย  k  เป็นค่าคงตัวของสปริง
เมื่อปล่อยมือ แรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} จะดึงรถทดลองเคลื่อนที่กลับไปทางซ้ายเข้าหาตำแหน่งสมดุลด้วยความเร่ง\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a}ทำให้ความเร็วมีขนาดเพิ่มขึ้นและมีทิศไปทางซ้าย ขนาดของแรง\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}จะลดลง เพราะขนาดการกระจัด \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over x}ลดลง  การเคลื่อนที่เป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เมื่อรถทดลองเคลื่อนที่ถึงตำแหน่งสมดุล ขนาดของการกระจัด \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over x}เป็นศูนย์ ขนาดของ\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}และ\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a}ก็เป็นศูนย์แต่ความเร็ว\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v}ของรถทดลองจะมีค่ามากที่สุดและมีทิศไปทางซ้าย ดังรูป 4.28 ค
จากนั้นรถทดลองจะเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่งสมดุลไปทางซ้ายต่อไปอีก และอัดลวดสปริงให้หดสั้น ลวดสปริงก็จะออกแรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}มีทิศไปทางขวาต้านการเคลื่อนที่ของรถทดลอง ในขณะนี้รถทดลองจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v}ที่มีทิศไปทางขวาทำให้ความเร็วรถทดลองลดลงเรื่อยๆ จนกระทั่งความเร็วเป็นศูนย์ ขณะนี้รถทดลองมีการกระจัดค่า – A  ดังรูป 4.28  จ  แล้วเคลื่อนที่ต่อไปดังรูปซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เราอาจเขียนกราฟของการกระจัดกับเวลาของการเคลื่อนที่ของรถทดลองในรูป 4.28 ได้ดังรูป 4.29


รูป 4.29 กราฟของการกระจัดของเวลาสำหรับหนึ่งรอบของการเคลื่อนที่

เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของรถทดลองติดปลายสปริงที่เคลื่อนที่ แรงที่สปริงกระทำต่อรถทดลองจะมีค่าเป็น  F  =  – kx   ถ้าให้  m  เป็นมวลของรถทดลอง และ a  เป็นความเร่งของรถทดลอง จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน
จะได้                        F   =  ma  =  –  kx
และ                         a = - \frac{k}{m}x                                                                                                                                        (4.20)
นั่นคือ  การเคลื่อนที่ของรถทดลองติดสปริงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่าง่ายเช่นเดียวกับการเคลื่อนที่ของเงาของดินน้ำมัน มีความเร่งแปรผันตรงกับการกระจัด แต่มีทิศตรงกับข้าม
เทียบสมการ  ( 4.20)  กับสมการ (4.19) จะเห็นว่า ความเร่งคือ
- \frac{k}{m}x = - \omega ^2 x
ดังนั้น                     \omega ^2 = \frac{k}{m}
\omega = \sqrt {\frac{k}{m}}                                                 (4.21)
ความถี่เชิงมุมของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีความสัมพันธ์กับค่าคงตัวของสปริง และมวลของวัตถุที่ติดกับสปริง ดังสมการ 4.21

การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย
ลูกตุ้มอย่างง่ายคือ ลูกตุ้มที่ประกอบด้วยมวลขนาดเล็ก ตามอุดมคติเป็นจุด แขวนที่ปลายด้ายหรือเชือกอ่อน โดยธรรมชาติวัตถุแขวนห้อยในแนวดิ่งเป็นตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุให้เอียงทำมุมเล็กๆ กับแนวดิ่งแล้วปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่แกว่งกลับไปมา ซึ่งจะพิสูจน์ได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย


รูป 4.30 ขณะเส้นเชือกเอียงทำมุมกับแนวดิ่งมีแรงกระทำเข้าหาจุดสมดุล

ขณะที่ปล่อยลูกตุ้มมวล m ซึ่งผูกกับเส้นเชือกยาว  \ell เอียงเป็นมุม \thetaเรเดียนกับแนวดิ่ง
ลูกตุ้มมวล m จะมีแรงสองแรงกระทำต่อมวล m คือ น้ำหนักของลูกตุ้ม mg  และแรงดึงในเส้นเชือก T ซึ่งทำมุม\thetaเรเดียนกับแนวดิ่ง ดังรูป 4.32 สองแรงนี้รวมกันได้แรงลัพธ์เป็น mg\sin \thetaตามแนวเส้นสัมผัสซึ่งตั้งฉากกับเส้นเชือก
เนื่องจากแรง  mg  สามารถคิดแยกออกเป็น  2  แรงในแนวตั้งฉากกัน ดังรูป จะเห็นว่าแรงmg\sin \theta เป็นแรงที่ดึงมวล  m  กลับสู่ตำแหน่งสมดุล ให้แรงนี้เป็นแรง F ขณะที่ mg\cos \thetaมีขนาดเท่ากับ T ทำให้เชือกตึงยาวเท่าเดิม  เมื่อคำนึงถึงทิศด้วย แรงลัพธ์  F คือ
F= - mg\sin \theta
ถ้ามุม thetaเป็นมุมเล็กๆ การเคลื่อนที่โค้งประมาณได้ว่าเป็นเส้นตรง คือการกระจัด x และ \sin \theta = \frac{x}{\ell }จะได้
F= - mg\frac{x}{\ell }
จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน       F  =  ma
จะได้                        - \frac{{mg}}{\ell }x = ma
a= - \frac{g}{\ell }x
จะเห็นว่า ความเร่งของลูกตุ้มแปรผันตรงกับการกระจัด และมีทิศตรงกันข้ามการแกว่งของลูกตุ้มจึงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายด้วย
เนื่องจากอัตราเร่งของการแกว่ง                          a = - \omega ^2 x
ดังนั้น                                                              \omega ^2 = \frac{g}{\ell }
จาก                                     \omega = 2\pi fจะได้  f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{\ell }}     (4.22)
หรือ                                                                   T= 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}}      (4.23)
สมการ  (4.23) อาจนับว่าเป็นสมการที่ทำนายคาบของลูกตุ้มอย่างง่ายจากที่ได้วิเคราะห์มาตามหลักการของการเคลื่อนที่ที่ต้องเป็นไปตามกฎของนิวตัน  คาบของการแกว่งจริงจะเป็นอย่างไร จะศึกษาจากการทดลองดังภาคการทดลองต่อไป

การทดลองและกิจกรรม

การทดลอง 4.1  การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
จุดประสงค์     เพื่อศึกษาลักษณะของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

วิธีการทดลอง


รูป 4.31 การติดตั้งอุปกรณ์การทดลอง 4.1

ตอนที่ 1 จัดตั้งอุปกรณ์
ประกอบรางอะลูมิเนียมเข้ากับแป้นไม้ ให้รางตอนล่างอยู่ในแนวระดับ แล้วติดกระดาษกราฟเข้ากับแป้นไม้ ดังรูป 4.31
ตัดกระดาษขาวและกระดาษคาร์บอนขนาดกว้างยาวเท่ากับแผ่นโลหะที่ใช้เป็นเป้าและปิดกระดาษขาวเข้ากับเป้า แล้วปิดกระดาษคาร์บอนทับกระดาษขาวโดยยึดติดเฉพาะปลายบนของกระดาษคาร์บอน จากนั้นวางเป้าให้ชิดปลายรางอะลูมิเนียมและด้านยาวของเป้าทาบบนเส้นทึบของกระดาษกราฟให้พอดี

ตอนที่  2   หาเส้นทางการเคลื่อนที่
วางลูกกลมโลหะบนรางอะลูมิเนียมซึ่งใกล้ปลายรางตอนบน โดยถือไม้บรรทัดกั้นลูกกลมโลหะไว้ ยกไม้บรรทัดขึ้นอย่างรวดเร็ว ลูกกลมโลหะจะกลิ้งลงมาตามรางเข้าชนเป้าเมื่อยกปลายล่างของกระดาษคาร์บอนขึ้น จะเห็นจุดดำบนกระดาษขาว ซึ่งเป็นตำแหน่งที่ลูกกลมโลหะชนเป้า  ทำเครื่องหมายบนกระดาษกราฟให้มีระดับตรงกับจุดดำบนเป้า ทำการทดลองซ้ำ แต่ละครั้งที่ทดลองต้องวางลูกกลมโลหะที่ตำแหน่งเดิมแต่เลื่อนเป้าออกไปครั้งละ 1 เซนติเมตร จนกระทั่งลูกกลมโลหะไม่กระทบเป้า
เมื่อทดลองเสร็จแล้ว ให้ลากเส้นผ่านจุดทุกจุดบนกระดาษกราฟ จะได้กราฟเป็นเส้นทางการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ของลูกกลม

ตอนนที่  3 การวิเคราะห์โดยการเขียนกราฟ
กำหนดให้จุดบนกราฟจุดแรกซึ่งตรงกับจุดที่ลูกกลมโลหะกระทบเป้าเมื่อวางชิดปลายรางด้านล่างเป็นจุดกำเนิด ลากแกนนอนหรือแกน x และแกนยืนหรือแกน y จากกราฟที่ได้วัดการกระจัดในแนวระดับ x และการกระจัดในแนวดิ่ง y ของจุดต่างๆ พร้อมทั้งหาค่าการกระจัดในแนวระดับกำลังสอง x2 ออกแบบตารางและบันทึกผลลงในตาราง เขียนกราฟระหว่างการกระจัดในแนวดิ่ง y กับการกระจัดในแนวระดับกำลังสอง x2
–  เพราะเหตุใด ต้องปล่อยลูกกลมโลหะจากตำแหน่งเดียวกันทุกครั้ง
– แนวการเคลื่อนที่ของลูกกลมโลหะจากกระดาษกราฟบนแป้นไม้มีลักษณะอย่างไร
– จากกราฟระหว่างการกระจัดในแนวดิ่ง y กับการกระจัดในแนวระดับกำลังสอง displaystyle x^2
จะสรุปลักษณะของแนวการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ว่าเป็นแนวโค้งแบบใด

การทดลอง  4.2  คาบของการเคลื่อนที่แบบวงกลม
จุดประสงค์   เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างคาบและแรงสู่ศูนย์กลางของการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนววงกลมในระนาบระดับเมื่อรัศมีคงตัว
วิธีทดลอง


รูป 4.32 การจัดอุปกรณ์การทดลองการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนววงกลม

ใช้ชุดทดลองการเคลื่อนที่ในแนววงกลม ให้วัดระยะจากจุดกึ่งกลางของจุกยางตามแนวเส้นเชือกออกไปถึงปลายบนของหลอดพีวีซี ยาว 60 เซนติเมตร และใช้ลวดหนีบกระดาษหนีบเส้นเชือกห่างจากปลายล่างของหลอดพีวีซี ประมาณ 1 เซนติเมตร ใช้นอตแขวนที่ขอเกี่ยวโลหะ 2 ตัว ดังรูป 4.32 โดยใช้น้ำหนักของนอตประมาณเท่าๆ กัน และน้ำหนักของนอต 1 ตัว แทนแรงขนาด 1F จับทอพีวีซีแกว่งให้จุกยางเคลื่อนที่ในแนววงกลมในระนาบระดับด้วยความถี่พอดีที่ทำให้ลวดที่หนีบเส้นเชือกอยู่ห่างจากปลายล่างของหลอดพีวีซีประมาณ 1 หรือ 2 เซนติเมตรและไม่เลื่อนขึ้นหรือลง จับเวลาการเคลื่อนที่ของจุกยางครบ 30 รอบ แล้วนำมาคำนวณหาคาบ T ของการเคลื่อนที่ของจุกยาง ทำการทดลองซ้ำโดยเพิ่มจำนวนนอตเป็น 3,4,5 และ 6 ตัว ซึ่งจะทำให้ขนาดของแรงดึงในเส้นเชือกเป็น 3F  4F  5F  และ  6F  ตามลำดับ บันทึกขนาดของแรงดึงในเส้นเชือก F คาบของการแกว่ง  T และส่วนกลับของคาบ การแกว่งกำลังสอง  1/T^2ลงในตาราง  เขียนกราฟระหว่างขนาดแรงดึงในเส้นเชือก F กับส่วนกลับของคาบกำลังสองแกว่ง 1/T^2
– เมื่อขนาดของแรงดึงในเส้นเชือกเพิ่มขึ้น ช่วงเวลาในการเคลื่อนที่ครบรอบของจุกยางเป็นอย่างไร
– กราฟระหว่างขนาดแรงดึงในเส้นเชือก F กับส่วนกลับของคาบกำลังสอง 1/T^2มีลักษณะอย่างไร    และจะสรุปความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณทั้งสองได้อย่างไร
– จากความสัมพันธ์ระหว่าง F กับ1/T^2จะสรุปความสัมพันธ์ระหว่างแรงดึงในเส้นเชือก F
อัตราเร็วของจุกยางกำลังสอง v^2 ได้อย่างไร
– แรงดึงในเส้นเชือกเป็นแรงสู่ศูนย์กลางของจุกยางได้หรือไม่ อย่างไร

การทดลอง 4.3  การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของรถทดลองซึ่งติดอยู่กับสปริง
จุดประสงค์  เพื่อศึกษาการกระจัดและความเร็วของรถทดลองซึ่งเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายในช่วงเวลาครึ่งคาบ
วิธีทดลอง
กดปลายหนึ่งของลวดสปริงกับขอบรางไม้  อีกปลายหนึ่งของลวดสปริงยึดติดกับรถทดลอง ติดแถบกระดาษกับรถทดลองแล้วสอดผ่านเครื่องเคาะสัญญาณเวลา ดึงรถทดลองออกห่างจากตำแหน่งสมดุล 6 เซนติเมตร กดสวิตช์ที่หม้อแปลงให้เครื่องเคาะสัญญาณเวลาทำงาน จากนั้นปล่อยมือให้รถทดลองเคลื่อนที่ เมื่อรถทดลองเริ่มเคลื่อนที่สวนกลับทางเดิม ให้ปิดสวิตช์
นำแถบกระดาษมาหาค่าการกระจัดของรถทดลอง โดยวัดจากตำแหน่งสมดุล และหาความเร็วที่เวลาต่างๆ ตลอดการเคลื่อนที่ กำหนดให้ปริมาณที่มีทิศไปทางขวามีเครื่องหมายบวก และปริมาณที่มีทิศไปทางซ้ายมีเครื่องหมายลบ เขียนกราฟระหว่างการกระจัดกับเวลาและความเร็วกับเวลา โดยให้เวลาเป็นแกนนอน
– พิจารณากราฟการกระจัดกับเวลา เปรียบเทียบกับกราฟความเร็วกับเวลา
1.    ณ เวลาที่การกระจัดเป็นศูนย์ ความเร็วของรถทดลองเป็นอย่างไร
2.    เวลาที่การกระจัดมากที่สุด ความเร็วของรถทดลองเป็นอย่างไร
– กราฟการกระจัดกับเวลา และกราฟความเร็วกับเวลาเป็นกราฟที่ได้จากการเคลื่อนที่ของ              รถทดลองกี่รอบ

การทดลอง 4.4   ลูกตุ้มอย่างง่าย
วัตถุประสงค์     เพื่อหาค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก g
วิธีทดลอง


รูป 4.33  แสดงการจัดอุปกรณ์ทดลอง

ใช้นอตขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 2.0 เซนติเมตร เป็นลูกตุ้มอย่างง่าย ผูกสายเอ็นยาวประมาณ 1 เมตรกับลูกตุ้ม ดังรูป  4.33 ใช้ไม้หนีบ (สำหรับหนีบเสื้อ)  หนีบใกล้อีกปลายหนึ่งของเส้นเอ็น ยึดไม้หนีบกับขอบโต๊ะ (อาจใช้หนังสือหนักทับ)  ให้ลูกตุ้มห้อยอยู่ในแนวดิ่ง ความยาวของเส้นเอ็น (\ell) ให้วัดจากจุดล่างของที่หนีบถึงจุดศูนย์กลางของลูกตุ้ม
แกว่งลูกตุ้ม และจับเวลาการแกว่งเพื่อหาคาบ (T) โดยให้เปลี่ยนค่าความยาวของเส้นเอ็น รวม 6 ค่า การจับเวลาแต่ละครั้งให้จับเวลาเมื่อลูกตุ้มแกว่งครบ 30 รอบ 3 ครั้ง หาค่าเฉลี่ยของเวลาครบ 30 รอบ แล้วจึงหาคาบ จากนั้นเขียนกราฟระหว่างT^2 กับ\ell โดยให้T^2 อยู่บนแกนตั้ง \ell อยู่บนแกนนอน (ทำไมจึงควรเขียนกราฟระหว่าง T^2 กับ\ell)
– จากกราฟT^2 กับ\ell มีความสัมพันธ์กันอย่างไร และความสัมพันธ์นี้มีความหมายย่างไร กับ  T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}}
– หาค่า g จากความชันของกราฟ และประมาณความคลาดเคลื่อนที่เป็นไปได้ ค่า g ที่ได้จากการ
ทดลองเป็นเท่าใด

Advertisements